α) i. Οι αριθμοί αυτοί δεν μπορούν να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, καθώς θα έπρεπε να ισχύει \(2β=α+γ\), δηλαδή:

$$81=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}+\dfrac{81\sqrt{3}}{2}=54\sqrt{3},$$

επομένως \(\dfrac{81}{54}=\sqrt{3}\), το οποίο δεν ισχύει αφού \(\sqrt{3}\) άρρητος, ενώ ο \(\dfrac{81}{54}\) είναι ρητός, άρα δεν μπορούν να είναι ίσοι.
ii. Οι δύο αριθμοί είναι θετικοί, άρα για να είναι ίσοι αρκεί τα τετράγωνά τους να είναι ίσα μεταξύ τους:

\begin{align}&\left(\frac{27\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}(\sqrt{3})^7\right)^2\\ \iff&\frac{27^2\cdot3}{4}=\frac{1}{4}(\sqrt{3})^{14}\\ \iff&\frac{3^6\cdot3}{4}=\frac{1}{4}\cdot3^7,\end{align}

το οποίο ισχύει.

β) Η γεωμετρική πρόοδος θα έχει σταθερό λόγο:

$$λ=\dfrac{\dfrac{81\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{81}{2}}=\sqrt{3}.$$

Ο \(ν\)-οστός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι

$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α_1(\sqrt{3})^{ν-1}.$$

Όμως, εφόσον, ισχύει ότι

$$α_7=\dfrac{27\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}^7)$$

έχουμε ότι

$$α_1(\sqrt{3})^{7-1}=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3})^7,$$

οπότε

$$α_1=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3})^{8-7}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}.$$

Συνεπώς, ισχύει ότι \(α_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), άρα ο γενικός όρος της γεωμετρικής προόδου είναι

$$α_ν=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot(\sqrt{3})^{ν-1}=\dfrac{(\sqrt{3})^ν}{2}.$$

γ) Για το άθροισμα των \(10\) πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου ισχύει ότι:

\begin{align}S_{10}&=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}^{10}-1}{\sqrt{3}-1}\\ &=\dfrac{\sqrt{3}^{11}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-2}.\end{align}