α) Από τη γραφική παράσταση της \(f\), φαίνεται ότι \(f(0)=3\) άρα

$$α\cdot 0^2-4\cdot 0+γ=3$$

οπότε \(γ=3\).

β) Επειδή η γραφική παράσταση της \(f\) είναι συμμετρική ως προς τον \(y'y\) και τα σημεία \(A\) και \(B\) έχουν την ίδια τεταγμένη, θα είναι και αυτά συμμετρικά ως προς τον \(y'y\). Άρα:

\begin{align}&α^2-3=-(5-3α)\\ \iff&α^2-3𝑎+2=0.\end{align}

Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι

$$Δ=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2=1>0$$

και οι ρίζες της:

\begin{align}&α_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2}\\ \iff&\begin{cases}α_1=2\\α_2=1\end{cases}.\end{align}

Επειδή το σημείο \(A\) ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο πρέπει:

$$α^2-3< 0.$$

Για \(α=2\) είναι \(2^2-3=1 > 0\) άρα η λύση \(α=2\) απορρίπτεται.
Για \(α=1\) είναι \(1^2-3=-2 < 0\) άρα η λύση \(α=1\) είναι δεκτή.
Οπότε, ο τύπος της \(f\) είναι:

$$f(𝑥)=x^4-4x^2+3.$$

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τον άξονα \(x'x\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(x^4-4x^2+3=0\) η οποία για \(x^2=w >0\) γίνεται \(w^2-4w+3=0\). Η διακρίνουσα είναι

$$Δ=4^2-4\cdot 3=4 >0$$

και οι ρίζες

$$\begin{cases}w_1=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=3\\w_2=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=1\end{cases},$$

οι οποίες είναι και οι δύο δεκτές. Άρα:

$$x^2=1\iff x=\pm1$$

ή

$$x^2=3\iff x\pm\sqrt{3}.$$

δ) Με βάση το σχήμα η γραφική παράσταση της \(f\) βρίσκεται κάτω από τον \(x'x\) όταν:

$$-\sqrt{3} < x<-1\text{ ή }1 < x < \sqrt{3}.$$