α) Από τη γραφική παράσταση της $f$, φαίνεται ότι $f(0)=3$ άρα

$$\alpha \cdot 0^2-4\cdot 0+\gamma =3$$

οπότε $\gamma =3$.

β) Επειδή η γραφική παράσταση της $f$ είναι συμμετρική ως προς τον $y^{\prime }y$ και τα σημεία $A$ και $B$ έχουν την ίδια τεταγμένη, θα είναι και αυτά συμμετρικά ως προς τον $y^{\prime }y$. Άρα:

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }^2-3=-(5-3\alpha )\\ ⟺& {\alpha }^2-3𝑎+2=0.\end{array}$$

Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι

$$\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=1>0$$

και οι ρίζες της:

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_{1,2}=\frac{-(-3)\pm \sqrt{1}}{2}\\ ⟺& \{\begin{array}{l}{\alpha }_1=2\\ {\alpha }_2=1\end{array}.\end{array}$$

Επειδή το σημείο $A$ ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο πρέπει:

$${\alpha }^2-3<0.$$

Για $\alpha =2$ είναι $2^2-3=1>0$ άρα η λύση $\alpha =2$ απορρίπτεται.
Για $\alpha =1$ είναι $1^2-3=-2<0$ άρα η λύση $\alpha =1$ είναι δεκτή.
Οπότε, ο τύπος της $f$ είναι:

$$f(𝑥)=x^4-4x^2+3.$$

γ) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $x^{\prime }x$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $x^4-4x^2+3=0$ η οποία για $x^2=w>0$ γίνεται $w^2-4w+3=0$. Η διακρίνουσα είναι

$$\Delta =4^2-4\cdot 3=4>0$$

και οι ρίζες

$$\{\begin{array}{l}{w}_1=\frac{4+\sqrt{4}}{2}=3\\ w_2=\frac{4-\sqrt{4}}{2}=1\end{array},$$

οι οποίες είναι και οι δύο δεκτές. Άρα:

$$x^2=1⟺x=\pm 1$$

ή

$$x^2=3⟺x\pm \sqrt{3}.$$

δ) Με βάση το σχήμα η γραφική παράσταση της $f$ βρίσκεται κάτω από τον $x^{\prime }x$ όταν:

$$-\sqrt{3}<x<-1\text{ ή }1<x<\sqrt{3}.$$