ΘΕΜΑ 4 (Ενδεικτικές απαντήσεις)

4.1 Στην κατακόρυφη διεύθυνση (διεύθυνση y) οι δυνάμεις ισορροπούν σε κάθε σώμα. Άρα ισχύουν:

$$Σ_{1} : ΣF_{y}=N_{1}-B_{1}=0$$

Άρα, \(N_{1}=B_{1}=m_{1}\cdot g=20N\)

$$Σ_{2} : ΣF_{y}=N_{2}-B_{2}=0$$

Άρα, \(N_{2}=B_{2}=m_{2}\cdot g=10N\)

Εφαρμόζοντας τον νόμο της τριβής, υπολογίζουμε τα μέτρα των τριβών στα δύο σώματα:

$$T_{1}=μ\cdot N_{1}=0,25\cdot 20N=5 N$$

$$T_{2}=μ\cdot N_{2}=0,25\cdot 10N=2,5 N$$

Επειδή στην οριζόντια διεύθυνση τα σώματα κινούνται με σταθερή ταχύτητα, οι δυνάμεις ισορροπούν και στη διεύθυνση αυτή (διεύθυνση x). Εφαρμόζοντας τον πρώτο νόμο του Νεύτωνα για το σύστημα των δύο σωμάτων:

$$ΣF_{x}=F-T_{1}-T_{2}=0$$

Άρα \(F=T_{1}+T_{2}=7,5N\)

4.2 Από τη χρονική στιγμή \(t_{0}=0\) κατά την οποία κόπηκε το νήμα που συνέδεε τα δύο σώματα, η σταθερή δύναμη \(\vec{F}\) που κινούσε το σύστημα, ασκείται μόνο στο σώμα \(Σ_{1}\).
Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής μόνο για το σώμα αυτό:

$$Σ_{1}: ΣF_{x}=F-T_{1}=m_{1}\cdot a_{1}$$ $$a_{1}=\dfrac{F-T_{1}}{m_{1}}=\dfrac{7,5-5}{2}\ \dfrac{m}{s^{2}}=1,25\ \dfrac{m}{s^{2}}$$

Το σώμα \(Σ_{2}\) στην οριζόντια διεύθυνση δέχεται μόνο την τριβή \(T_{2}\), η οποία το επιβραδύνει. Εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για το σώμα αυτό:

$$Σ_{2} : ΣF_{x}'=-T_{2}=m_{2}\cdot a_{2}$$ $$a_{2}=\dfrac{-T_{2}}{m_{2}}=-\dfrac{2,5}{1}=-2,5\ \dfrac{m}{s^{2}}$$

το μέτρο της επιβράδυνσης του \(Σ_{2}\), είναι \(|a_{2}|=2,5\ \dfrac{m}{s^{2}}\)

4.3 Το σώμα \(Σ_{2}\) εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα \(υ_{0}\), από τη χρονική στιγμή \(t_{0}=0\), μέχρι τη στιγμή \(t_{1}\) κατά την οποία ακινητοποιείται. Ισχύει:

$$υ=υ_{0}-|a_{2}|\cdot t_{1}=0$$ $$t_{1}=\dfrac{υ_{0}}{|a_{2}|}=\dfrac{2,5}{2,5}s=1 s$$

Σε αυτό το χρονικό διάστημα, μέχρι να ακινητοποιηθεί, έχει διανύσει:

$$S_{2}=υ_{0}\cdot t_{1}-\dfrac{1}{2}\cdot |a_{2}|\cdot t_{1}^{2}=(2,5\cdot 1-\dfrac{1}{2}\cdot 2,5\cdot 1)m=1,25 m$$

Στο ίδιο χρονικό διάστημα το σώμα \(Σ_{1}\) εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα \(υ_{0}\), από τη χρονική στιγμή \(t_{0}=0\) και μέχρι την στιγμή \(t_{1}\) διανύει διάστημα \(S_{1}\), για το οποίο ισχύει:

$$S_{1}=υ_{0}\cdot t_{1}+\dfrac{1}{2}\cdot a_{1}\cdot t_{1}^{2}=(2,5\cdot 1+\dfrac{1}{2}\cdot 1,25\cdot 1)m=3,125 m$$

Επειδή τη στιγμή \(t_{0}=0\) κατά την οποία κόπηκε το νήμα που τα συνέδεε, τα σώματα είχαν μεταξύ τους απόσταση \(l\) ίση με το μήκος του νήματος αυτού, τη στιγμή \(t_{1}\), κατά την οποία ακινητοποιείται το \(Σ_{2}\), η μεταξύ τους απόσταση είναι:

$$d=l+S_{1}-S_{2}=2\ m$$

4.4 Από τη στιγμή \(t_{0}=0\) που κόπηκε το νήμα, μέχρι το σώμα \(Σ_{1}\) να διανύσει διάστημα \(S=3\ m\), του έχει προσφερθεί ενέργεια μέσω του έργου της δύναμης \(\vec{F}\) η οποία το τραβάει:

$$E_{\text{πρ.}}=W_{F}=F\cdot S=7,5\cdot 3J=22,5 J$$