α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:
\(Δ=(-μ)^{2}-4\cdot 1 \cdot (-2)=μ^{2}+8>0\) για κάθε \(μ\in \mathbb{R}\).
Άρα η εξίσωση \(f(x)=0\) έχει δύο ρίζες πραγματικές άνισες για κάθε \(μ\in \mathbb{R}\).

β) Είναι:

$$f(-2)=4+2μ-2=2μ+2$$ $$f(1)=1-μ-2=-μ-1$$ $$f(3)=9-3μ-2=7-3μ$$

Για να βρίσκονται τα \(x=-2\) και \(x=3\) εκτός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\) ενώ το \(x=1\) εντός του διαστήματος των ριζών της εξίσωσης \(f(x)=0\), θα πρέπει να ισχύει:

$$\begin{cases} f(-2)>0 \\ f(1)\lt 0 \\ f(3)>0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2μ+2>0 \\ - μ-1 \lt 0 \\ 7-3μ>0\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} μ>-1 \\ μ>-1 \\ μ\lt \dfrac{7}{3} \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow -1\lt μ\lt \dfrac{7}{3}$$

γ) Για να είναι τα \(f(-2), f(1), f(3)\) με τη σειρά που δίνονται διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου θα πρέπει να ισχύει:

$$(f(1))^{2}=f(-2)\cdot f(3)$$ $$\Leftrightarrow (-μ-1)^{2}=(2μ+2)\cdot (7-3μ)$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)^{2}-2(μ+1)\cdot (7-3μ)=0$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)\cdot (μ+1-14+6μ)=0$$ $$\Leftrightarrow (μ+1)\cdot (7μ-13)=0 $$ $$\Leftrightarrow μ=-1 \text{ ή } 7μ-13=0$$ $$\Leftrightarrow μ=-1 \text{ ή } μ=\dfrac{13}{7}$$

Άρα \(μ=\dfrac{13}{7}\) αφού \(μ\in \Big(-1,\frac{7}{3}\Big)\).

Για \(μ=\dfrac{13}{7}\) είναι:

$$f(-2)=\dfrac{26}{7}+2=\dfrac{40}{7}$$ $$f(1)=-\dfrac{13}{7}-1=-\dfrac{20}{7}$$ $$\text{ και } f(3)=7-\dfrac{39}{7}=\dfrac{10}{7}$$

Άρα ο λόγος της προόδου θα είναι:

$$λ=\dfrac{-\dfrac{20}{7}}{\dfrac{40}{7}}=-\dfrac{1}{2}$$