ΛΥΣΗ
α) Για τη γωνία \(θ=Α\hat{Ο}Μ\) γνωρίζουμε ότι \(\dfrac{π}{2}<θ<π\) και \(ημθ=\dfrac{4}{5}\). Από τη τριγωνομετρική ταυτότητα \(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\) έχουμε ότι:

$$(\dfrac{4}{5})^{2}+συν^{2}θ=1$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{16}{25}+συν^{2}θ=1$$ $$\Leftrightarrow συν^{2}θ=1-\dfrac{16}{25}$$ $$\Leftrightarrow συν^{2}θ=\dfrac{9}{25}$$

Όμως \(\dfrac{π}{2}<θ<π\) οπότε \(συνθ<0\) και επομένως

$$συνθ=-\dfrac{3}{5}$$

Επίσης

$$εφθ=\dfrac{ημθ}{συνθ}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{-\dfrac{3}{5}}=-\dfrac{4}{3}$$

και τέλος

$$σφθ=\dfrac{1}{εφθ}=\dfrac{1}{-\dfrac{4}{3}}=-\dfrac{3}{4}$$

β) Γενικά, για τα σημεία \(Μ\) και \(Κ\) που η τελική πλευρά μιας γωνίας \(θ\) τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο και την ευθεία \(x=1\) αντίστοιχα, ισχύει ότι \(Μ(συνθ,ημθ)\) και \(Κ(1,εφθ)\). Συνεπώς \(Μ(-\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5})\) και \(Κ(1,-\dfrac{4}{3})\).

γ)

1. Είναι \(ημφ=\dfrac{3}{5}>0\) και \(συνφ<0\), οπότε η τελική πλευρά της γωνίας \(φ\) είναι στο \(2ο\) τεταρτημόριο.

2. Είναι \(\dfrac{3}{5}<\dfrac{4}{5}\), δηλαδή \(ημθ>ημφ\). Όμως η συνάρτηση \(ημx\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \([\dfrac{π}{2},π]\), οπότε για να είναι \(ημθ>ημφ\) θα πρέπει \(θ<φ\).
   Εναλλακτικά, βρίσκουμε το σημείο \(Ν\) του κύκλου με τεταγμένη \(ημφ=\dfrac{3}{5}\) και τετμημένη \(συνφ<0\) και διαπιστώνουμε το σημείο \(Ν\) είναι πιο αριστερά και κάτω από το σημείο \(Μ\) δηλαδή \(Α\hat{Ο}Μ<Α\hat{Ο}Ν\) οπότε \(θ<φ\).