ΛΥΣΗ
α) Η περίοδος της συνάρτησης $f$ είναι:

$${\rm T}={\displaystyle \frac{2\pi }{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}}=4$$

β) Για κάθε $x\in R$ είναι:

$$-1\le \eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\le 1$$

οπότε

$$-2\le 2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\le 2$$

οπότε

$$-2+1\le 1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\le 2+1$$

και τελικά

$$-1\le f(x)\le 3$$

Επίσης

$$f(1)=1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi }{2}})=3$$

και

$$f(3)=1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=-1$$

Συνεπώς η μέγιστη τιμή της $f$ είναι το $3$ και η ελάχιστη το $-1$.

γ) Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της $f$ τέμνει τον άξονα $x{x}^{\prime }$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f(x)=0$. Είναι

$$f(x)=0$$ $$\iff 1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})=0$$ $$\iff \eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ $$\iff \eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})=\eta \mu (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\pi x}{2}}=2\kappa \pi +(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\\ {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}=2\kappa \pi +\pi -(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{\pi x}{2}}=2\kappa \pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\\ {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}=2\kappa \pi +{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2}}=2\kappa -{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{x}{2}}=2\kappa +{\displaystyle \frac{7}{6}}\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}x=4\kappa -{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ x=4\kappa +{\displaystyle \frac{7}{3}}\end{array},\kappa \in Z$$

οπότε οι ζητούμενες τετμημένες είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί της μορφής $x=4\kappa -{\displaystyle \frac{1}{3}}$ ή $x=4\kappa +{\displaystyle \frac{7}{3}}$, όπου $\kappa \in Z$.

δ) Για κάθε $x\in R$ είναι

$$\begin{array}{rl}f(1-x)& =1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi (1-x)}{2}})\\ \\ & =1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi -\pi x}{2}})\\ \\ & =1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\\ \\ & =1+2\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\end{array}$$

οπότε

$$\begin{array}{rl}(f(x)-1{)}^2+(f(1-x)-1{)}^2& =(1+2\eta \mu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})-1{)}^2+(1+2\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})-1{)}^2\\ \\ & =4\eta {\mu }^2({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})+4\sigma \upsilon {\nu }^2({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})\\ \\ & =4(\eta {\mu }^2({\displaystyle \frac{\pi x}{2}})+\sigma \upsilon {\nu }^2({\displaystyle \frac{\pi x}{2}}))\\ \\ & =4\cdot 1=4\end{array}$$

δηλαδή $(f(x)-1{)}^2+(f(1-x)-1{)}^2=4$, για κάθε $x\in R$.