ΛΥΣΗ
α) Η περίοδος της συνάρτησης \(f\) είναι:

$$Τ=\dfrac{2π}{\dfrac{π}{2}}=4$$

β) Για κάθε \(x∈R\) είναι:

$$-1≤ημ(\dfrac{πx}{2})≤1$$

οπότε

$$-2≤2ημ(\dfrac{πx}{2})≤2$$

οπότε

$$-2+1≤1+2ημ(\dfrac{πx}{2})≤2+1$$

και τελικά

$$-1≤f(x)≤3$$

Επίσης

$$f(1)=1+2ημ(\dfrac{π}{2})=3$$

και

$$f(3)=1+2ημ(\dfrac{3π}{2})=-1$$

Συνεπώς η μέγιστη τιμή της \(f\) είναι το \(3\) και η ελάχιστη το \(-1\).

γ) Οι τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(xx'\) είναι οι λύσεις της εξίσωσης \(f(x)=0\). Είναι

$$f(x)=0$$ $$\Leftrightarrow 1+2ημ(\dfrac{πx}{2})=0$$ $$\Leftrightarrow ημ(\dfrac{πx}{2})=-\dfrac{1}{2}$$ $$\Leftrightarrow ημ(\dfrac{πx}{2})=ημ(-\dfrac{π}{6})$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{πx}{2} =2κπ+ (-\dfrac{π}{6}) \\ \dfrac{πx}{2} =2κπ+π - (-\dfrac{π}{6})\end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{πx}{2} =2κπ - \dfrac{π}{6} \\ \dfrac{πx}{2} =2κπ+ \dfrac{7π}{6} \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{x}{2} =2κ - \dfrac{1}{6} \\ \dfrac{x}{2} =2κ+ \dfrac{7}{6} \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x=4κ - \dfrac{1}{3} \\ x=4κ+ \dfrac{7}{3} \end{cases}\ \ ,\ κ∈Z$$

οπότε οι ζητούμενες τετμημένες είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί της μορφής \(x=4κ-\dfrac{1}{3}\) ή \(x=4κ+\dfrac{7}{3}\), όπου \(κ∈Z\).

δ) Για κάθε \(x∈R\) είναι

$$\begin{align} f(1-x)&=1+2ημ(\dfrac{π(1-x)}{2})\\ \\&=1+2ημ(\dfrac{π-πx}{2})\\ \\&=1+2ημ(\dfrac{π}{2}-\dfrac{πx}{2})\\ \\&=1+2συν(\dfrac{πx}{2})\end{align}$$

οπότε

$$\begin{align}(f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}&=(1+2ημ(\dfrac{πx}{2})-1)^{2}+(1+2συν(\dfrac{πx}{2})-1)^{2}\\ \\&=4ημ^{2}(\dfrac{πx}{2})+4συν^{2}(\dfrac{πx}{2})\\ \\&=4(ημ^{2}(\dfrac{πx}{2})+συν^{2}(\dfrac{πx}{2}))\\ \\&=4 \cdot 1=4\end{align}$$

δηλαδή \((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\), για κάθε \(x∈R\).