ΛΥΣΗ

α) Η συνάρτηση είναι της μορφής $f(x)=\rho \sigma \upsilon \nu x$, $\rho >0$ με $\rho =2$, οπότε η ελάχιστη τιμή της είναι ίση με $-2$ και η μέγιστη τιμή της είναι ίση με $2$.

β) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της $C_f$ με την ευθεία $y=1$ προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης $f(x)=1$ που είναι ισοδύναμη με την $\sigma \upsilon \nu x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Μια προφανής λύση της είναι η $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ και επειδή οι αντίθετες γωνίες έχουν ίδιο συνημίτονο, μια άλλη λύση είναι η $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

Άρα, δυο κοινά σημεία της $C_f$ με την ευθεία $y=1$ είναι τα $(-{\displaystyle \frac{\pi }{3}},1)$, $({\displaystyle \frac{\pi }{3}},1)$.

γ) Οι αριθμοί ${\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{5}}$ περιέχονται στο πρώτο τεταρτημόριο όπου η συνάρτηση συνημίτονο, είναι γνησίως φθίνουσα. Επιπλέον:

$${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{15}}>0$$

οπότε ${\displaystyle \frac{2\pi }{5}}>{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ και λόγω της μονοτονίας του συνημιτόνου παίρνουμε:

$$\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi }{3}})>\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{2\pi }{5}})$$

οπότε:

$$2\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{\pi }{3}})>2\sigma \upsilon \nu ({\displaystyle \frac{2\pi }{5}})$$

δηλαδή:

$$f({\displaystyle \frac{\pi }{3}})>f({\displaystyle \frac{2\pi }{5}})$$

δ) Με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα προκύπτει η γραφική παράσταση της $f$ όπως φαίνεται στο σχήμα.