Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) τέτοιο ώστε η \(\hat{Γ_{εξ}}= 2\hat{Α}\), ημιευθεία \(Αx\) παράλληλη στη \(ΒΓ\) και σημείο της \(Δ\) τέτοιο ώστε \(ΑΔ = ΒΓ\).

α) Αφού τα τμήματα \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) είναι ίσα και παράλληλα, τότε το τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοί του \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\) διχοτομούνται έστω στο σημείο \(Κ\). Άρα η \(ΒΔ\) διέρχεται από το μέσο \(Κ\) του τμήματος \(ΑΓ\).

β) Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο, οι πλευρές του \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\) είναι παράλληλες.

Είναι \(\hat{Γ_{1}} = \hat{Α}\) \((1)\) ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΒ, ΓΔ\) που τις τέμνει η \(ΑΓ\).

Όμως είναι \(\hat{Γ_{εξ}}= 2\hat{Α}\) και \(\hat{Γ_{εξ}} =\hat{Γ_{1}} +\hat{Γ_{2}}\) οπότε θα είναι \(2\hat{Α} =\hat{Α} + \hat{Γ_{2}}\) . Άρα \(\hat{Α} = \hat{Γ_{2}}\) \((2)\)

Από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(\hat{Γ_{1}} = \hat{Γ_{2}}\) , οπότε η \(ΓΔ\) είναι διχοτόμος της \(\hat{Γ_{εξ}}\)

γ) Γνωρίζουμε ότι η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των απέναντι δυο εσωτερικών γωνιών του, άρα \(\hat{Γ_{εξ}} = \hat{Α} +\hat{Β}\). Με δεδομένο ότι \(\hat{Γ_{εξ}} = 2\cdot\hat{Α}\) θα είναι \(2\cdot\hat{Α}= \hat{Α} +\hat{Β}\) άρα \(\hat{Α} =\hat{Β}\). Οπότε το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές.