α) i. Επειδή το σημείο ${{\rm M}}_1$ είναι το συμμετρικό του ${\rm M}$ ως προς την ${\epsilon }_1$, η ${\epsilon }_1$ είναι μεσοκάθετος του ${\rm M}{{\rm M}}_1$. Το ${\rm O}$ ανήκει στη μεσοκάθετο του ${\rm M}{{\rm M}}_1$, οπότε ισαπέχει από τα ${\rm M}$ και ${{\rm M}}_1$, δηλαδή ${\rm O}{\rm M}={\rm O}{{\rm M}}_1$.

ii. Στο ισοσκελές τρίγωνο ${\rm O}M{M}_1$ η διάμεσος ${\rm O}{\rm K}$ είναι και διχοτόμος, άρα $\widehat{{\rm M}O{{\rm M}}_1}=2\widehat{O_2}$.

Επειδή στο τρίγωνο ${{\rm M}}_1{\rm O}{{\rm M}}_2$ η ${\rm O}\Lambda$ είναι διάμεσος και ύψος το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Άρα η ${\rm O}\Lambda$ είναι και διχοτόμος και ισχύει $\widehat{{{\rm M}}_{1}O{{\rm M}}_2}=2\widehat{O_3}$.
Τότε:

$$\widehat{{\rm M}O{{\rm M}}_2}=\widehat{{\rm M}O{{\rm M}}_1}+\widehat{{{\rm M}}_1{\rm O}{{\rm M}}_2}$$ $$=2\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=2(\widehat{O_2}+\widehat{O_3})=2\cdot {90}^0={180}^0$$

Αφού η γωνία $\widehat{{\rm M}O{{\rm M}}_2}$ είναι ευθεία γωνία, τα σημεία ${\rm M},{\rm O}$ και ${{\rm M}}_2$ είναι συνευθειακά.

iii. Το τετράπλευρο ${\rm K}{{\rm M}}_1\Lambda {\rm O}$ έχει 3 γωνίες ορθές, άρα είναι ορθογώνιο. Συνεπώς $\widehat{{\rm K}{M}_1\Lambda }={90}^0$. Άρα το τρίγωνο $\widehat{M{M}_1{M}_2}$ είναι ορθογώνιο με $\widehat{{\rm M}{M}_1}{{\rm M}}_2={90}^0$.

β) Όμοια με το ερώτημα (α) βρίσκουμε: ${\rm O}{{\rm M}}_3={\rm O}{{\rm M}}_2$ οπότε ${\rm O}{{\rm M}}_3={\rm O}{{\rm M}}_1={\rm O}{{\rm M}}_2={\rm O}{\rm M}$ και τα σημεία ${{\rm M}}_1,{\rm O}$ και ${{\rm M}}_3$ είναι συνευθειακά. Τελικά στο ${\rm M}{{\rm M}}_1{{\rm M}}_2{{\rm M}}_3$ οι διαγώνιοι ${\rm M}{{\rm M}}_2$ και ${{\rm M}}_1{{\rm M}}_3$ τέμνονται στο ${\rm O}$, είναι ίσες και διχοτομούνται, οπότε το ${\rm M}{{\rm M}}_1{{\rm M}}_2{{\rm M}}_3$ είναι ορθογώνιο.