ΛΥΣΗ

α) Γραφικά η υψομετρική διαφορά ανάμεσα στην υψηλότερη πλημμυρίδα και τη χαμηλότερη άμπωτη, εκφράζεται με τη διαφορά του ελαχίστου \(-3\) της συνάρτησης \(f\), από το μέγιστό της \(3\). Συνεπώς η ζητούμενη υψομετρική διαφορά είναι \(6\) μέτρα.

β) Από το σχήμα παρατηρούμε ότι το μικρότερο διάστημα που απαιτείται για να αρχίσει να επαναλαμβάνεται η γραφική παράσταση είναι \(12\) ώρες. Συνεπώς η ζητούμενη περίοδος είναι \(12\).

γ) Ο τύπος της ημιτονοειδούς συνάρτησης \(f\) είναι της μορφής \(f(t)=ρ\cdot ημ(ωt)\) όπου \(ρ>0\), \(ω>0\). Δεδομένου ότι η μέγιστη τιμή της \(f\) είναι \(3\) συμπεραίνουμε ότι \(ρ=3\). Επίσης η περίοδος είναι \(12\) οπότε:

$$\dfrac{2π}{ω}=12 $$ $$\Leftrightarrow ω=\dfrac{π}{6}$$

Συνεπώς η συνάρτηση \(f\) έχει τύπο:

$$f(t)=3\cdot ημ(\dfrac{π}{6}\cdot t)$$

δ) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης \(f(t)=\dfrac{3}{2}\), όπου \(0\le t\le 24\). Είναι:

$$f(t)=\dfrac{3}{2} $$ $$\Leftrightarrow 3\cdot ημ(\dfrac{π}{6}\cdot t)=\dfrac{3}{2} $$ $$\Leftrightarrow ημ(\dfrac{π}{6}\cdot t)=\dfrac{1}{2} $$ $$\Leftrightarrow ημ(\dfrac{π}{6}\cdot t)=ημ(\dfrac{π}{6}) $$ $$\Leftrightarrow \cases{\dfrac{π}{6} \cdot t=2κπ+ \dfrac{π}{6} \cr \text{ή} \cr \dfrac{π}{6} \cdot t=2κπ+π - \dfrac{π}{6}} $$ $$\Leftrightarrow \cases{t=12κ+1 \cr \text{ή} \cr t=12κ+5},\ κ\in \mathbb{Z}$$

Επειδή \(0\le t\le 24\), έχουμε τελικά ότι οι ζητούμενες ώρες είναι \(1\), \(5\), \(13\), \(17\).

Σχόλιο: Αυτό επιβεβαιώνεται και γραφικά από τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της \(f\), με την ευθεία \(y=\dfrac{3}{2}\).