Λύση

α) Εφόσον το σημείο \(Α\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f(x)=a^{x}\) οι συντεταγμένες του θα ικανοποιούν τον τύπο της και επειδή \(0<α\lt 1,\) θα ισχύει ότι
\(a^{1}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{2}.\)

β)

i) Η συνάρτηση \(f\) έχει τύπο \(f(x)=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{x}\) και είναι εκθετική με βάση \(0<a<1\) οπότε θα είναι μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση.

ii) H συνάρτηση \(f\) είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει \(\sqrt{2}<\sqrt{3},\) οπότε θα έχουμε ότι \(f(\sqrt{2})>f(\sqrt{3}) \Rightarrow a^{\sqrt{2}}>a^{\sqrt{3}}\).