ΛΥΣΗ
α) Η \(C\) έχει εστίες τα σημεία \(Ε(5,0)\), \(Ε'(-5,0)\) οπότε έχει εξίσωση της μορφής \(\dfrac{x^{2}}{α^{2}}-\dfrac{y^{2}}{β^{2}}=1\) και \(γ=5\). Αφού διέρχεται από το σημείο \(Α(4,0)\) έχουμε ότι:

$$\dfrac{4^{2}}{α^{2}}-\dfrac{0^{2}}{β^{2}}=1$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{16}{α^{2}}=1$$ $$\Leftrightarrow α^{2}=16$$

και επειδή \(α>0\) έχουμε τελικά ότι \(α=4\). Συνεπώς έχει εκκεντρότητα:

$$ε=\dfrac{γ}{α}=\dfrac{5}{4}$$

β) Από τη σχέση \(γ^{2}=α^{2}+β^{2}\) έχουμε ότι:

$$5^{2}=4^{2}+β^{2}$$ $$\Leftrightarrow β^{2}=9$$

και επειδή \(β>0\) έχουμε \(β=3\).

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$\dfrac{x^{2}}{16}-\dfrac{y^{2}}{9}=1$$

γ) Η εφαπτόμενη στο \(Μ(5,\dfrac{9}{4})\) έχει εξίσωση:

$$\dfrac{5⋅x}{16}-\dfrac{\dfrac{9}{4}⋅y}{9}=1$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{5x}{16}-\dfrac{y}{4}=1$$