α) Η εξίσωση $(1)$ είναι της μορφής ${\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{{\beta }^2}}=1$, όπου ${\alpha }^2=9$ και ${\beta }^2=4$.
i. Για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα $x^{\prime }x$ θέτουμε στην εξίσωση $(1)$ $y=0$. Έτσι έχουμε

$$\frac{x^2}{9}=1$$ $$⟺x^2=9$$ $$⟺x=\pm 3.$$

Τα σημεία τομής με τον άξονα $x^{\prime }x$ είναι, λοιπόν, τα σημεία ${\rm K}(3,0)$ και ${{\rm K}}^{\prime }(-3,0)$. Αντίστοιχα, για να βρούμε τα σημεία τομής της έλλειψης αυτής με τον άξονα $y^{\prime }y$ θέτουμε στην εξίσωση $(1)$ $x=0$. Έτσι έχουμε

$$\frac{y^2}{4}=1$$ $$⟺y^2=4$$ $$⟺y=\pm 2.$$

Επομένως, τα σημεία τομής με τον άξονα $y^{\prime }y$ είναι τα σημεία $B(0,2)$ και ${{\rm B}}^{\prime }(0,-2)$.
ii. Η εξίσωση $(1)$ παριστάνει έλλειψη με εστίες στον άξονα $x^{\prime }x$. Οπότε οι εστίες έχουν συντεταγμένες ${\rm E}(\gamma ,0)$ και ${{\rm E}}^{\prime }(-\gamma ,0)$, όπου $\gamma =\sqrt{{\alpha }^2-{\beta }^2}=\sqrt{5}$. Άρα οι εστίες της, ${\rm E}$ και ${{\rm E}}^{\prime }$, έχουν συντεταγμένες ${\rm E}(\sqrt{5},0)$ και ${{\rm E}}^{\prime }(-\sqrt{5},0).$

β)

Το σημείο ${\rm A}(0,4)$ είναι εξωτερικό σημείο της έλλειψης, αφού είναι σημείο στον άξονα $y^{\prime }y$ και η έλλειψη που μας δόθηκε τέμνει τον άξονα $y^{\prime }y$ στα σημεία ${\rm B}(0,2)$ και ${{\rm B}}^{\prime }(0,-2)$. Θεωρούμε ${\rm M}(x_1,y_1)$ το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτόμενης $(\epsilon )$ στο σημείο ${\rm M}$ θα είναι της μορφής

$$\frac{x{x}_1}{9}+\frac{y{y}_1}{4}=1⟺4x{x}_1+9y{y}_1=36.$$

Η ευθεία $(\epsilon )$ διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(0,4)$, οπότε οι συντεταγμένες του σημείου ${\rm A}$ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας $(\epsilon )$. Ισχύει δηλαδή

$$4\cdot 0x_1+9\cdot 4y_1=36⟺y_1=1.$$

Επιπλέον, το σημείο ${\rm M}(x_1,y_1)$ είναι σημείο της έλλειψης, οπότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν την εξίσωση $(1)$. Άρα ισχύει

$$\begin{array}{rl}& \frac{x_1^2}{9}+\frac{y_1^2}{4}=1\\ ⟺& \frac{x_1^2}{9}+\frac{1^2}{4}=1\\ ⟺& \frac{x_1^2}{9}=\frac{3}{4}\\ ⟺& x_1=\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Για $x_1={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ και $y_1=1$, έχουμε την εφαπτόμενη $({\epsilon }_1)$ με εξίσωση

$$4\frac{3\sqrt{3}}{2}x+9y=36⟺2\sqrt{3}+3y=12.$$

Για $x_1=-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$ και $y_1=1$, έχουμε την εφαπτόμενη $({\epsilon }_2)$ με εξίσωση

$$4(-\frac{3\sqrt{3}}{2})x+9y=36⟺-2\sqrt{3}x+3y=12.$$

Άρα, οι δύο εφαπτόμενες της έλλειψης που διέρχονται από το σημείο ${\rm A}(0,4)$ είναι οι:

$$2\sqrt{3}+3y=12$$ $$\text{και }-2\sqrt{3}x+3y=12$$