ΘΕΜΑ 4

4.1. Η εξίσωση ταχύτητας του απλού αρμονικού ταλαντωτή $\upsilon =4\pi \sigma \upsilon \nu (10\pi t)$ αντιστοιχεί στην γενική μορφή $\upsilon ={\upsilon }_{\text{max}}\sigma \upsilon \nu (\omega t)$. Με αντιστοίχιση των σχέσεων προκύπτει ότι ${\upsilon }_{\text{max}}=4\pi {\displaystyle \frac{m}{s}}$ και $\omega =10\pi {\displaystyle \frac{rad}{s}}$. Το πλάτος ταλάντωσης είναι

$${\upsilon }_{\text{max}}=\omega {\rm A}\iff$$ $$\iff {\rm A}={\displaystyle \frac{{\upsilon }_{\text{max}}}{\omega }}$$ $$\iff A={\displaystyle \frac{4\pi }{10\pi }}m$$ $$\iff A=0,4m$$

Αντίστοιχα, η περίοδος ταλάντωσης είναι

$${{\rm T}}_0={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}={\displaystyle \frac{2\pi }{10\pi }}s=0,2s$$

Μονάδες 6

4. 2. Η εξίσωση επιτάχυνσης έχει γενική μορφή $\alpha =-{\alpha }_{\text{max}}\eta \mu (\omega t)$. Η μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης έχει μέτρο

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_{\text{max}}& ={\omega }^2{\rm A}\\ & =(10\pi {)}^2\cdot 0,4{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\\ & =400{\displaystyle \frac{m}{s^2}}\end{array}$$

Αντικαθιστώντας στην γενική μορφή της εξίσωσης επιτάχυνσης προκύπτει ότι $\alpha =-400\eta \mu (10\pi t)$ στο S.I.

Μονάδες 6

4. 3. Η σχέση που συνδέει την δύναμη επαναφοράς με την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας σε μία απλή αρμονική ταλάντωση έχει μορφή $F=-Dx$, όπου D είναι η σταθερά επαναφοράς. Η τιμή της είναι

$$\begin{array}{rl}D& =m{\omega }^2\\ & =0,2kg\cdot (10\pi {\displaystyle \frac{rad}{s}}{)}^2\\ & =200{\displaystyle \frac{{\rm N}}{m}}\end{array}$$

Επομένως, η συνάρτηση δύναμης επαναφοράς-απομάκρυνσης είναι $F=-200x$, με $-0,4\le x\le +0,4$. Η σχέση αυτών των δύο μεγεθών είναι γραμμική και για τον σχεδιασμό της γραφικής της παράστασης σχεδιάζουμε έναν πίνακα τιμών.

Μονάδες 7

4. 4. Στην περίπτωση που στο ταλαντούμενο σύστημα επεμβαίνει περιοδικά ένα εξωτερικό αίτιο (διεγέρτης) προσφέροντας ενέργεια μέσω της δύναμης που ασκεί, το σύστημα ταλαντώνεται με την συχνότητα του διεγέρτη και όχι με την ιδιοσυχνότητά του.

Ο διεγέρτης έχει κυκλική συχνότητα ${\omega }_{\delta }=20\pi {\displaystyle \frac{rad}{s}}$, οπότε η περίοδος ταλάντωσης του συστήματος είναι:

$$\begin{array}{rl}{{\rm T}}_{\delta }& ={\displaystyle \frac{2\pi }{{\omega }_{\delta }}}\\ & ={\displaystyle \frac{2\pi }{20\pi }}s\\ & =0,1s\end{array}$$

Η συχνότητα του διεγέρτη είναι: $f_{\delta }={\displaystyle \frac{1}{{{\rm T}}_{\delta }}}={\displaystyle \frac{1}{0,1}}Hz=10Hz$,
ενώ η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του συστήματος είναι: $f_0={\displaystyle \frac{1}{{{\rm T}}_0}}={\displaystyle \frac{1}{0,2}}Hz=5Hz$.
Επειδή αυτές οι δύο συχνότητες δεν είναι ίσες, το σύστημα δεν βρίσκεται σε συντονισμό.
Μονάδες 6