ΘΕΜΑ 4
4.1. Η τροχαλία, υπό την επίδραση της ροπής της δύναμης $\overrightarrow{F}$ εκτελεί στροφική ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Για την κίνησή της ισχύει:

$${\alpha }_{\gamma }={\displaystyle \frac{\Delta \omega }{\Delta t}}$$ $$\Rightarrow {\alpha }_{\gamma }={\displaystyle \frac{\omega -{\omega }_0}{t-t_0}}$$ $$\stackrel{{\omega }_0=0,t_0=0}{⟹}\omega ={\alpha }_{\gamma }t(1)$$

Η γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας-χρόνου είναι η επόμενη:

Το εμβαδό του γραμμοσκιασμένου τριγώνου είναι αριθμητικά ίσο με την επίκεντρη γωνία που διαγράφει οποιαδήποτε επιβατική ακτίνα της τροχαλίας. Άρα,

$$\Delta \theta =({\rm O}{\rm A}{\rm B})={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{βάση}\cdot \text{ύψος}$$ $$\Rightarrow \Delta \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\omega t={\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }_{\gamma }{t}^2(2)$$

Όταν η τροχαλία έχει διαγράψει ${\displaystyle \frac{4}{\pi }}$ περιστροφές, τότε η επιβατική ακτίνα κάθε σημείου της έχει διαγράψει επίκεντρη γωνία ίση με:

$$\Delta \theta =2\pi {\rm N}=2\pi \cdot {\displaystyle \frac{4}{\pi }}rad=8rad$$

Θα κάνουμε απαλοιφή του χρόνου από τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ για να υπολογίσουμε την γωνιακή επιτάχυνση. Λύνουμε την σχέση $(1)$ ως προς τον χρόνο, δηλαδή $t={\displaystyle \frac{\omega }{{\alpha }_{\gamma }}}$ και αντικαθιστούμε στην σχέση $(2)$. Έχουμε:

$$\Delta \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\alpha }_{\gamma }({\displaystyle \frac{\omega }{{\alpha }_{\gamma }}}{)}^2$$ $$\iff \Delta \theta ={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{2{\alpha }_{\gamma }}}$$ $$\iff {\alpha }_{\gamma }={\displaystyle \frac{{\omega }^2}{2\Delta \theta }}$$ $$\iff {\alpha }_{\gamma }={\displaystyle \frac{8^2}{2\cdot 8}}{\displaystyle \frac{rad}{s^2}}=4{\displaystyle \frac{rad}{s^2}}$$

Μονάδες 6

4.2. Την χρονική στιγμή $t_1=3s$ η γωνιακή ταχύτητα κάθε σημείου της τροχαλίας δίνεται από την σχέση $(1)$ και είναι:

$${\omega }_1={\alpha }_{\gamma }\cdot t_1$$ $$\Rightarrow {\omega }_1=4{\displaystyle \frac{rad}{s^2}}\cdot 3s=12{\displaystyle \frac{rad}{s}}$$

Ηγραμμική ταχύτητα στο ανώτερο σημείο της τροχαλίας έχει την ίδια διεύθυνση με το νήμα, φορά προς τα δεξιά και μέτρο:

$${\upsilon }_1={\omega }_1\cdot R$$ $$\Rightarrow {\upsilon }_1=12{\displaystyle \frac{rad}{s}}\cdot 0,3m=3,6{\displaystyle \frac{m}{s}}$$

Μονάδες 6

4. 3. Η τροχαλία δέχεται τρεις δυνάμεις, το βάρος της $\overrightarrow{W}$, την δύναμη $\overrightarrow{F}$ και την δύναμη στήριξης $\overrightarrow{N}$ από τον άξονα. Το βάρος $\overrightarrow{W}$ και η δύναμη $\overrightarrow{N}$ δεν ασκούν ροπή ως προς τον άξονα της τροχαλίας γιατί ο φορέας τους τέμνει τον άξονα περιστροφής (ο μοχλοβραχίονας είναι μηδέν).

Ορίζοντας ως θετική φορά την φορά περιστροφής της τροχαλίας, η συνολική ροπή ως προς τον άξονα είναι:

$$\Sigma \overrightarrow{\tau }={\overrightarrow{\tau }}_{\overrightarrow{F}}+{\overrightarrow{\tau }}_{\overrightarrow{W}}+{\overrightarrow{\tau }}_{\overrightarrow{N}}$$ $$\iff \Sigma \tau =F\cdot R+0+0=20N\cdot 0,3m=6Nm$$

Μονάδες 6

4. 4. Η επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα κάθε σημείου της τροχαλίας από την χρονική στιγμή $t_1=3s$ ως την χρονική στιγμή $t_2=4s$ (το $4o$ δευτερόλεπτο) μπορεί να υπολογιστεί από την γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας χρόνου, μέσω του εμβαδού. ΄Όπως φαίνεται από το επόμενο σχήμα, είναι αριθμητικά ίση με το εμβαδό του τραπεζίου ${\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}$, με

$${\omega }_2={\alpha }_{\gamma }{t}_2$$ $$\Rightarrow {\omega }_2=4\cdot 4{\displaystyle \frac{rad}{s}}=16{\displaystyle \frac{rad}{s}}$$

$$\Delta {\theta }_1=({\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N})={\displaystyle \frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}}\Delta t$$ $$\Rightarrow \Delta {\theta }_1={\displaystyle \frac{(12+16)}{2}}\cdot 1rad=14rad$$

Το μήκος του νήματος που ξετυλίγεται είναι ίσο με το μήκος τόξου της περιφέρειας της τροχαλίας που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία $\Delta {\theta }_1$, δηλαδή

$$s=R\cdot \Delta {\theta }_1$$ $$\Rightarrow s=0,3m\cdot 14rad=4,2m$$

Μονάδες 7