ΘΕΜΑ 4
4.1. Το σώμα που κρεμάσαμε στο ελατήριο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση που ξεκινά από την θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης (πλάτος), αφού όταν το αφήνουμε ελεύθερο είναι στιγμιαία ακίνητο.

Η θέση ισορροπίας του ταλαντωτή απέχει από την θέση που αφήνουμε ελεύθερο το σώμα, απόσταση:

$$\Sigma \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$$ $$\iff {\overrightarrow{F}}_{\epsilon \lambda }+\overrightarrow{W}=\overrightarrow{0}$$

$$k\Delta l=Mg$$ $$\iff 100{\displaystyle \frac{N}{m}}\cdot \Delta l=2,5kg\cdot 10{\displaystyle \frac{m}{s^2}}$$ $$\iff \Delta l={\displaystyle \frac{1}{4}}m=A$$

Η περίοδος ${\rm T}$ της ταλάντωσης είναι:

$${\rm T}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{\rm M}}{D}}}$$ $$\Rightarrow T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{\rm M}}{k}}}$$ $$\Rightarrow T=2\sqrt{{\displaystyle \frac{{\rm M}{\pi }^2}{k}}}$$ $$\Rightarrow T=2\sqrt{{\displaystyle \frac{2,5kg\cdot 10}{100N/m}}}$$ $$\Rightarrow T=2\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}{s}^2}$$ $$\Rightarrow {\rm T}=1s$$

άρα η γωνιακή συχνότητα $\omega$, είναι:

$$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{{\rm T}}}=2\pi rad/s$$

Η αρχική φάση της ταλάντωσης προκύπτει για $t=0$ και $x=A$ :

$$x=A\eta \mu (\omega t+{\phi }_0)$$ $$\iff {\rm A}={\rm A}\eta \mu {\phi }_0$$ $$\iff \eta \mu {\phi }_0=1=\eta \mu {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ $$\iff {\phi }_0=2\kappa \pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ $$\iff {\phi }_0=2\kappa \pi +\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$

και άρα

$${\phi }_0={\displaystyle \frac{\pi }{2}}rad$$

Άρα, η εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος είναι:

$$x=0,25\cdot \eta \mu (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{S.I.}$$

Η ζητούμενη χρονική εξίσωση της ταχύτητας θα είναι:

$$\upsilon ={\upsilon }_{\text{max}}\sigma \upsilon \nu (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ $$\iff \upsilon =2\pi \cdot 0,25\cdot \sigma \upsilon \nu (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$$ $$\iff \upsilon ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot \sigma \upsilon \nu (2\pi t+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{S.I.}$$

και η εξάρτηση της συνισταμένης δύναμης, δηλαδή της δύναμης επαναφοράς, από την απομάκρυνση:

$$\Sigma F=-Dx=-kx=-100x\text{,}-0,25\le x\le 0,25\text{S.I.}$$

Μονάδες 7

4.2. Η απόσταση από την οροφή θα είναι:

$$d=l_0+2A=1,2m+2\cdot 0,25m$$ $$\iff d=1,7m$$

Μονάδες 4

4.3. Ο χρόνος για να φτάσει το κύμα στο σημείο που απέχει $x$ από την πηγή, είναι το άθροισμα του χρόνου $t_1$ μέχρι να χτυπήσει η ακίδα για πρώτη φορά την επιφάνεια του υγρού συν τον χρόνο διάδοσης του κύματος $t_2$:

$$t_{\Lambda }=t_1+t_2$$ $$\iff t_{\Lambda }={\displaystyle \frac{T}{2}}+t_2$$ $$\iff t_2=t_{\Lambda }-{\displaystyle \frac{T}{2}}=5,5s-0,5s$$ $$\iff t_2=5s$$

Οπότε, το μήκος κύματος θα είναι:

$$\upsilon ={\displaystyle \frac{x_{\Lambda }}{t_2}}=\lambda f$$ $$\iff \lambda ={\displaystyle \frac{x_{\Lambda }}{f\cdot t_2}}={\displaystyle \frac{1,5m}{1s^{-1}\cdot 5s}}$$ $$\iff \lambda =0,3m$$

αφού η συχνότητα της ταλάντωσης της ακίδας-πηγής είναι ίδια με την συχνότητα διάδοσης του κύματος.
Μονάδες 7

4.4. Οι φάσεις δύο σημείων ${\rm A}$ και ${\rm B}$ είναι:

$${\phi }_{{\rm A}}=2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x_A}{\lambda }})$$

$${\phi }_{{\rm B}}=2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x_{{\rm B}}}{\lambda }})$$

Άρα, η διαφορά φάσης τους προκύπτει:

$$|\Delta {\phi }_{{\rm A}{\rm B}}|=|{\phi }_{{\rm A}}-{\phi }_{{\rm B}}|$$ $$\Rightarrow |\Delta {\phi }_{{\rm A}{\rm B}}|=|2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x_A}{\lambda }})-2\pi ({\displaystyle \frac{t}{T}}-{\displaystyle \frac{x_{{\rm B}}}{\lambda }})|$$ $$\Rightarrow |\Delta {\phi }_{{\rm A}{\rm B}}|=|2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}-2\pi {\displaystyle \frac{x_A}{\lambda }}-2\pi {\displaystyle \frac{t}{T}}+2\pi {\displaystyle \frac{x_B}{\lambda }}|$$ $$\Rightarrow |\Delta {\phi }_{{\rm A}{\rm B}}|=2\pi {\displaystyle \frac{|x_B-x_A|}{\lambda }}$$

Αντικαθιστούμε τα δεδομένα του προβλήματος:

$$|\Delta {\phi }_{{\rm A}{\rm B}}|=2\pi {\displaystyle \frac{|\Delta x_{{\rm A}{\rm B}}|}{\lambda }}$$ $$=2\pi rad{\displaystyle \frac{1,2m}{0,3m}}=8\pi rad$$

Μονάδες 7