ΘΕΜΑ 4
4.1. Από το δεδομένο διάγραμμα απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο, για την ταλάντωση που εκτελεί το σημείο \(Σ\), όταν φτάνει σε αυτό το κύμα της πηγής \(Π_{1}\), υπολογίζουμε την περίοδο ταλάντωσης του \(Σ\), αλλά και των δύο σύγχρονων πηγών.

$$T=(0,6-0,4)\ s=0,2\ s$$

Έτσι μπορούμε να γνωρίζουμε και τη συχνότητα των ταλαντώσεων, αλλά και το μήκος κύματος των κυμάτων που διαδίδονται από τις δύο πηγές, στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού:

$$f=\dfrac{1}{T}$$ $$=\dfrac{1}{0,2}\ Hz=5 Hz$$

$$λ=\dfrac{υ_{δ}}{f}$$ $$=\dfrac{8\ \dfrac{m}{s}}{5\ \dfrac{1}{s}}=1,6\ m$$

Μονάδες 6

4.2. Το κύμα της πηγής \(Π_{1}\), φτάνει στο σημείο \(Σ\) τη χρονική στιγμή \(t_{1}=0,4\ s\), κατά την οποία αρχίζουν οι ταλαντώσεις του, όπως φαίνεται από το διάγραμμα. Άρα:

$$r_{1}=υ_{δ}\cdot t_{1}$$ $$=8\cdot 0,4\ m=3,2\ m$$

Το κύμα της πηγής \(Π_{2}\), φτάνει στο \(Σ\), τη χρονική στιγμή \(t_{2}=0,8\ s\), (ενώ το σημείο έχει ήδη εκτελέσει δύο πλήρεις ταλαντώσεις εξ αιτίας του κύματος από την \(Π_{1}\) ) και το εξαναγκάζει σε ταλάντωση, με συμφωνία φάσης με την ταλάντωση που ήδη εκτελεί, μετατρέποντας το, σε σημείο ενισχυτικής συμβολής. Προφανώς η απόσταση \(r_{2}\), είναι μεγαλύτερη κατά δύο μήκη κύματος σε σχέση με τη \(r_{1}\). Ή πιο απλά:

$$r_{2}=υ_{δ}\cdot t_{2}$$ $$=8\cdot 0,8\ m=6,4\ m$$

Μονάδες 6

4.3. Το σημείο \(Γ\) και το σημείο \(Σ\), απέχουν από τις δύο πηγές διαφορετικές αποστάσεις, με την ίδια όμως διαφορά και, για τον λόγο αυτό, ανήκουν στην ίδια ενισχυτική υπερβολή. Δηλαδή ισχύει:

$$(Π_{2}Γ)-(Π_{1})^2=r_{2}-r_{1}=3,2\ m$$ $$\Rightarrow [(Π_{2}Μ)+(ΓΜ)]-[(Π_{1}Μ)-(ΓΜ)]=3,2\ m$$ $$\Rightarrow 2\cdot (ΓΜ)=3,2\ m$$ $$\Rightarrow (ΓΜ)=1,6\ m$$

Μονάδες 6

4. 4. Εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο \(Π_{1}ΣΠ_{2}\), θέτοντας \(d\) την απόσταση μεταξύ των δύο πηγών:

$$(Π_1Π_2 )^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}$$ $$\Rightarrow (Π_{1}Π_{2})=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}$$ $$=\sqrt{3,2^{2}+6,4^{2}}\ m$$ $$=3,2\cdot \sqrt{5}\ m=d$$

Έστω ένα σημείο \(Ε\), ενισχυτικής συμβολής του \(Π_{1}Π_{2}\), το οποίο απέχει \(x\) από την πηγή \(Π_{1}\) και \(d-x\) από την \(Π_{2}\). Θα ισχύει:

$$x-(d-x)=N\cdot λ,\ \ Ν=0,\pm 1, \pm 2,….$$ $$\Rightarrow 2\cdot x=N\cdot λ+d$$ $$\Rightarrow x=N\cdot \dfrac{λ}{2}+\dfrac{d}{2}$$

Για την απόσταση \(x\), ισχύει:

$$0\le x\le d$$ $$\Rightarrow 0\le N\cdot \dfrac{λ}{2}+\dfrac{d}{2}\le d$$ $$\Rightarrow -\dfrac{d}{2}\le N\cdot \dfrac{λ}{2}\le \dfrac{d}{2}$$ $$\Rightarrow -d\le N\cdot λ\le d$$ $$\Rightarrow \dfrac{-3,2\cdot \sqrt{5}}{1,6}\le N\le \dfrac{3,2\cdot \sqrt{5}}{1,6}$$ $$\Rightarrow -2\cdot \sqrt{5}\le N\le 2\cdot \sqrt{5}$$

που σημαίνει:

$$-4\le N\le 4$$ $$\Rightarrow N=-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$$

Δηλαδή \(9\) σημεία.

Μονάδες 7