ΛΥΣΗ

α) Το τριώνυμο \(λx^{2}+(2λ-1)x+λ-1\) έχει \(α=λ\), \(β=2λ-1\), \(γ=λ-1\) και διακρίνουσα:

$$Δ=(2λ-1)^{2}-4λ(λ-1)=$$ $$=4λ^{2}-4λ+1-4λ^{2}+4λ=1$$

Άρα, η διακρίνουσα \(Δ\) είναι σταθερή, ανεξάρτητη του \(λ\).

β) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-(2λ-1)\pm \sqrt{1}}{2λ}$$ $$=\dfrac{1-2λ\pm 1}{2λ}$$ $$=\begin{cases} \dfrac{2-2λ}{2λ}=\dfrac{1-λ}{λ} \\ \\ \dfrac{-2λ}{2λ}=-1 \end{cases}$$

γ) Η απόσταση των ριζών \(x_{1}\), \(x_{2}\) στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι:

$$|x_{2}-x_{1}|=\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|$$

Οπότε πρέπει:

$$\left|-1-\dfrac{1-λ}{λ}\right|=2$$ $$ \Rightarrow \left|\dfrac{-λ-1+λ}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \left|\dfrac{1}{λ}\right|=2$$ $$\Rightarrow \begin{cases} \dfrac{1}{λ}=2 \\ \\ \dfrac{1}{λ}=-2 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}λ=\dfrac{1}{2} \\ \\ λ=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$$