ΛΥΣΗ

α) Οι συντεταγμένες του σημείου \(Μ\) θα πρέπει να επαληθεύουν την εξίσωση \(y=g(x)\), άρα θα ισχύει:

$$g(\dfrac{3β}{2})=-3-\dfrac{β}{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{3β}{2}+β=-3-\dfrac{β}{2}$$ $$\Rightarrow \dfrac{3β}{2}+\dfrac{β}{2}+β=-3$$ $$\Rightarrow 3β=-3$$ $$\Rightarrow β=-1$$

β) Για \(β=-1\):

(i) Είναι \(f(x)=x^{2}-1\). Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(x'x\), έχουν τεταγμένη μηδέν, οπότε οι τετμημένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης \(y=f(x)=0\), άρα \(x^{2}-1=0\) οπότε \(x^{2}=1\). Τελικά \(x=1,x=-1\).

Άρα τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) είναι τα \(Α(1, 0)\) και \(Β(-1, 0)\).

Επίσης \(f(0)=0^{2}-1=-1\), άρα το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της \(f(x)\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) είναι το \(Γ(0, -1)\).

(ii) Θέλουμε να ισχύει \(f(x)<g(x)\) δηλαδή \(x^{2}-1<x-1\) άρα \(x^{2}-x<0\) ή \(x(x-1)<0\). Είναι φανερό ότι το πολυώνυμο \(x^{2}-x=x(x-1)\) έχει ως ρίζες τους αριθμούς μηδέν και \(1\), αφού για αυτές τις τιμές μηδενίζεται.

Δημιουργούμε τον πίνακα προσήμου, παρατηρώντας ότι ο συντελεστής του \(x^{2}\) είναι \(α=1>0\).

Διαπιστώνουμε ότι οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του \(x\) μεταξύ \(0\) και \(1\), δηλαδή \(0<x<1\).

(iii) Η εξίσωση γράφεται:

$$\dfrac{x^{2}-1}{x-1}+\dfrac{x-1}{x^{2}-1}=3$$

Πρέπει \(x-1\ne 0\) και \(x^{2}-1\ne 0\).

Έτσι, για \(x\ne 1\) και \(x\ne -1\), η εξίσωση γράφεται:

$$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}+\dfrac{x-1}{(x-1)(x+1)}=3$$

άρα:

$$x+1+\dfrac{1}{x+1}=3 $$ $$\Leftrightarrow (x+1)^{2}+1=3(x+1) $$ $$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1+1=3x+3 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$$

άρα:

$$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{5}}{2}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \\ x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \end{cases}$$