Λύση

α) Είναι:

$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ\cdot 2=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ=−15 $$

β) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:

$$x^{2}−Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=2\ \ \text{και}\ \ P=αβ=−15$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}−2x−15=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}−2x−15\) έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=(−2)^{2}−4\cdot 1\cdot (−15)$$ $$=4+60=64 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{2\pm 8}{2}=5\ \ \text{ή}\ \ -3$$

Άρα είναι \(α=5\) και \(β=−3\) ή \(α=−3\) και \(β=5\).