α) Πρέπει: \(x-4\ne 0\Leftrightarrow x\ne 4\).

Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλοποιήσεις γίνεται:

$$\begin{align} f(x) & =\dfrac{x^{3}-16x}{x-4}\\ &=\dfrac{x(x^{2}-16)}{x-4}\\ &=\dfrac{x(x-4)(x+4)}{x-4}\\ &=x(x+4)\\ & =x^{2}+4x \end{align}$$

β) Είναι:

$$f(x)=32$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+4x=32$$ $$\Leftrightarrow x^{2}+4x-32=0$$

Το τριώνυμο \(x^{2}+4x-32\) έχει \(α=1\), \(β= 4\), \(γ=-32\) και διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}-4αγ=4^{2}-4\cdot 1\cdot (-32)=16+128=144>0$$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$$\begin{align} x_{1,2} & =\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}\\ &=\dfrac{-4\pm \sqrt{144}}{2\cdot 1}\\ &=\dfrac{-4\pm 12}{2}\\ &=\begin{cases} \dfrac{-4+12}{2}=4 \\ \dfrac{-4-12}{2}=-8 \end{cases} \end{align}$$

Επειδή η \(f\) ορίζεται στο \(Α=\mathbb{R}-\{4\}\), δεκτή είναι μόνο η τιμή \(x=-8\).