Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	12683	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	12683
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α
Τελευταία Ενημέρωση: 24-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Μια δεξαμενή έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο και ύψος ίσο με το ένα τέταρτο του μήκους της.

α) Αν η δεξαμενή έχει όγκο $16 m^{3}$ , να βρείτε τις διαστάσεις της.
(Μονάδες 8)

β) Λόγω έλλειψης χώρου η δεξαμενή ανακατασκευάζεται με βάση ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και ύψος $2$ μέτρα (όπως στο παρακάτω σχήμα). Αν το πλάτος της νέας δεξαμενής είναι κατά $2 m$ μικρότερο από το μήκος της υπολογίστε τις διαστάσεις της βάσης προκειμένου ο όγκος να παραμείνει $16 m^{3}$ .
(Μονάδες 9)

γ) Αν η νέα δεξαμενή περιέχει $10 m^{3}$ πετρέλαιο να βρείτε το ύψος της στάθμης του πετρελαίου μέσα στη δεξαμενή.
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής ισούται με το γινόμενο των τριών διαστάσεων της. Επειδή η δεξαμενή έχει βάση τετράγωνη θέτουμε $x$ το μήκος και το πλάτος της οπότε το ύψος της θα είναι $\frac{x}{4}$ . Άρα ο όγκος της δεξαμενής $V$ θα είναι:

$V = x \cdot x \cdot \frac{x}{4} = \frac{x^{3}}{4}$

Αφού η δεξαμενή έχει όγκο $V = 16 m^{3}$ θα έχουμε:

$\begin{aligned} V = 16 \\ ⟺ & \frac{x^{3}}{4} = 16 \\ ⟺ & x^{3} = 64 \\ ⟺ & x = \sqrt[3]{64} \\ ⟺ & x = \sqrt[3]{4^{3}} \\ ⟺ & x = 4 m . \end{aligned}$

Οπότε η δεξαμενή έχει μήκος και πλάτος ίσα με $4 m$ και ύψος ίσο με $1 m$ .

β) Έστω $x, (x > 0)$ το μήκος της δεξαμενής. Τότε το πλάτος της θα είναι $x - 2$ και ο όγκος της δεξαμενής θα ισούται με $V = 2 x (x - 2)$ .
Οπότε έχουμε:

$\begin{aligned} V = 16 \\ ⟺ & 2 x (x - 2) = 16 \\ ⟺ & x (x - 2) = 8 \\ ⟺ & x^{2} - 2 𝑥 = 8 \\ ⟺ & x^{2} - 2 𝑥 - 8 = 0 \end{aligned}$

Έχουμε

$\begin{aligned} Δ = & β^{2} - 4 \cdot α \cdot γ \\ = & (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8) \\ = & 4 + 32 \\ = & 36 > 0. \end{aligned}$

Τότε:

$\begin{aligned} x_{1, 2} = \frac{- β \pm \sqrt{Δ}}{2 \cdot α} \\ ⟺ & x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\ ⟺ & x_{1, 2} = \frac{2 \pm 6}{2} \\ ⟺ & x_{1, 2} = {\begin{cases} \frac{2 - 6}{2} \\ \frac{2 + 6}{2} \end{cases} \\ ⟺ & x_{1, 2} = {\begin{cases} - 2, απορρίπτεται γιατί πρέπει x > 0 \\ 4, δεκτή \end{cases} \end{aligned}$

Άρα το μήκος της δεξαμενής είναι $4 m$ και το πλάτος $2 m$ .

γ) Αφού η νέα δεξαμενή περιέχει $10 m^{3}$ πετρέλαιο και η βάση της έχει μήκος $4 m$ και πλάτος $2 m$ , αν $x$ είναι το ύψος του υγρού μέσα στη δεξαμενή ο όγκος του υγρού θα είναι:

$\begin{aligned} V_{π ε τ ρ .} = 10 \\ ⟺ & 4 \cdot 2 \cdot x = 10 \\ ⟺ & 8 \cdot x = 10 \\ ⟺ & x = \frac{10}{8} \\ ⟺ & x = \frac{5}{4} m . \end{aligned}$

Άρα το ύψος του υγρού στη δεξαμενή είναι $\frac{5}{4} m$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).