Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	12943	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	12943
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαρ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι αριθμοί $α = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{5})$ και $β = \frac{1}{2} (3 - \sqrt{5})$ .

α) Να υπολογίσετε το άθροισμα $α + β$ και το γινόμενο $α \cdot β$ .
(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι $α^{2} + β^{2} = 7$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

α) Είναι:

$\begin{aligned} α + β & = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{5}) + \frac{1}{2} (3 - \sqrt{5}) \\ = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5}) \\ = \frac{6}{2} \\ = 3 \end{aligned}$

και

$\begin{aligned} α \cdot β & = \frac{1}{2} (3 + \sqrt{5}) \frac{1}{2} (3 - \sqrt{5}) \\ = \frac{1}{4} (3^{2} - {\sqrt{5}}^{2}) \\ = \frac{1}{4} (9 - 5) \\ = \frac{4}{4} \\ = 1. \end{aligned}$

Άρα, $α + β = 3$ και $α \cdot β = 1$ .

β) Έχουμε:

$\begin{aligned} α^{2} + β^{2} & = \frac{1}{4} (3 + \sqrt{5})^{2} + \frac{1}{4} (3 - \sqrt{5})^{2} \\ = \frac{1}{4} (9 + 5 + 6 \sqrt{5} + 9 + 5 - 6 \sqrt{5}) \\ = \frac{1}{4} \cdot 28 \\ = 7 \end{aligned}$

που είναι το ζητούμενο.

Υπόδειξη για εναλλακτική λύση.
Το ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β .$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).