Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	13171	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	13171
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Το άθροισμα των $ν$ πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας $(α_ν)$ είναι

$$α_1+α_2+\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$

με $ν\in\mathbb{N}$ και $ν\geq 1$.

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο $α_1$.
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι

$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\ ν\geq2.$$

(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι

$$α_ν=4ν+1,\ ν\geq1$$

(Μονάδες 7)

δ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τη διαφορά $ω$.
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

α) Προφανώς

$$α_1=S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5.$$

β) Θέτοντας όπου $ν$ το $ν-1$, παίρνουμε:

\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\ &= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\ &=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\ &=2ν^2-ν-1\end{align}

για κάθε $ν\geq 2$.

γ) Για κάθε $ν\geq 2$, έχουμε

\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\ &\phantom{=}-(α_1+α_2+\dots+α_ν)\\ &= S_ν-𝑆_{ν-1}\\ &= 2ν^2 + 3ν - (2ν^2-ν-1)\\ &= 2ν^2 + 3ν - 2ν^2+ν+1\\ &= 4ν+1.\end{align}

Αλλά $α_1=5=4\cdot 1+1$. Ώστε $α_ν=4ν+1$, για κάθε $ν\geq 1$.

δ) Για να είναι η ακολουθία $(α_ν)$ αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:

\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[4(ν+1)+1]-[4ν+1]\\ &=4ν+4+1-4ν-1\\ &=4.\end{align}

Άρα η διαφορά $ω$ είναι ίση με $4$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).