Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	13171	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	13171
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 30-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Το άθροισμα των $ν$ πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας $(α_{ν})$ είναι

$α_{1} + α_{2} + \dots + α_{ν} = S_{ν} = 2 ν^{2} + 3 ν,$

με $ν \in N$ και $ν \geq 1$ .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο $α_{1}$ .
(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι

$S_{ν - 1} = 2 ν^{2} - ν - 1, ν \geq 2.$

(Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι

$α_{ν} = 4 ν + 1, ν \geq 1$

(Μονάδες 7)

δ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος, της οποίας να βρείτε τη διαφορά $ω$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

α) Προφανώς

$α_{1} = S_{1} = 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 = 5.$

β) Θέτοντας όπου $ν$ το $ν - 1$ , παίρνουμε:

$\begin{aligned} S_{ν} - 1 & = 2 (ν - 1)^{2} + 3 (ν - 1) \\ = 2 (ν^{2} - 2 ν + 1) + 3 ν - 3 \\ = 2 ν^{2} - 4 ν + 2 + 3 ν - 3 \\ = 2 ν^{2} - ν - 1 \end{aligned}$

για κάθε $ν \geq 2$ .

γ) Για κάθε $ν \geq 2$ , έχουμε

$\begin{aligned} α_{ν} & = (α_{1} + α_{2} + \dots + α_{ν - 1} + α_{ν}) \\ - (α_{1} + α_{2} + \dots + α_{ν}) \\ = S_{ν} - 𝑆_{ν - 1} \\ = 2 ν^{2} + 3 ν - (2 ν^{2} - ν - 1) \\ = 2 ν^{2} + 3 ν - 2 ν^{2} + ν + 1 \\ = 4 ν + 1. \end{aligned}$

Αλλά $α_{1} = 5 = 4 \cdot 1 + 1$ . Ώστε $α_{ν} = 4 ν + 1$ , για κάθε $ν \geq 1$ .

δ) Για να είναι η ακολουθία $(α_{ν})$ αριθμητική πρόοδος, θα πρέπει η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων να είναι σταθερή. Πράγματι:

$\begin{aligned} α_{ν + 1} - α_{ν} & = [4 (ν + 1) + 1] - [4 ν + 1] \\ = 4 ν + 4 + 1 - 4 ν - 1 \\ = 4. \end{aligned}$

Άρα η διαφορά $ω$ είναι ίση με $4$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).