Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14123	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14123
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται το τριώνυμο $f (x) = x^{2} - α x - (α + 1)$ , $x \in R$ , με παράμετρο $α \in R$ .

α) Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου $α$ να βρείτε το πλήθος των ριζών του τριωνύμου.
(Μονάδες 7)

β) Αν είναι $α > - 2$ , τότε:
(i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί $- 1$ και $α + 1$ .
(Μονάδες 4)

(ii) Να βρείτε την τιμή του $α$ για την οποία το μήκος του διαστήματος λύσεων της ανίσωσης $x^{2} - α x - (α + 1) \leq 0$ είναι ίσο με $2024$ .
(Μονάδες 7)

(iii) Να βρείτε το πρόσημο του $f (\frac{α}{2})$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Έχουμε:

$Δ = (- α)^{2} - 4 [- (α + 1)]$ $= α^{2} + 4 α + 4$ $= (α + 2)^{2}$

Αν $α = - 2$ τότε $Δ = 0$ άρα το τριώνυμο έχει μοναδική ρίζα.
Αν $α \neq - 2$ τότε $Δ > 0$ άρα έχει δυο ρίζες άνισες.

β)
(i) Αφού $α > - 2$ τότε το $f$ (x) έχει δυο ρίζες άνισες, τις $x = \frac{- (- α) \pm \sqrt{(α + 2)^{2}}}{2}$ άρα $x = \frac{α \pm (α + 2)}{2}$ , οπότε η μία ρίζα είναι $x = \frac{2 α + 2}{2} = \frac{2 (α + 1)}{2} = α + 1$ και η άλλη $x = \frac{α - α - 2}{2} = - 1$ .

(ii) Έχει ρίζες τις $- 1$ , $α + 1$ με $α > - 2 \Leftrightarrow α + 1 > - 1$ και το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Άρα $f (x) \leq 0$ για κάθε $x \in [- 1, α + 1]$ .

Οπότε πρέπει $(α + 1) - (- 1) = α + 2 = 2024 \Leftrightarrow α = 2022$ .

(iii) Παρατηρούμε ότι $- 1 < \frac{α}{2} < α + 1$ διότι: $- 1 < \frac{α}{2} \Leftrightarrow α > - 2$ ισχύει και: $\frac{α}{2} < α + 1 \Leftrightarrow α < 2 α + 2 \Leftrightarrow α > - 2$ , ισχύει.

Τότε σύμφωνα με το ερώτημα (ii) θα είναι $f (\frac{a}{2}) < 0$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).