Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14329	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14329
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 3

Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις $Α = \frac{- α}{β}$ , $Β = α^{2}$ .

α) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών $α$ , $β$ οι αλγεβρικές παραστάσεις $Α$ , $Β$ είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του $0$ .
(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $Α$ , $Β$ είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί $α$ , $β$ είναι αντίστροφοι.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός $Α = \frac{- α}{β}$ ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του $0$ . Δηλαδή, αρκεί να ισχύει $β \neq 0$ .

Ο αριθμός $Β = α^{2}$ ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του $α \in R$ .

Για να μην είναι μηδέν οι $Α$ , $Β$ , αρκεί και $α \neq 0$ .

β) Δύο αριθμοί $Α$ , $Β$ λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει $Α + Β = 0$ .

Ισχύουν ισοδύναμα:

$A + Β = 0$ $\Leftrightarrow \frac{- a}{β} + a^{2} = 0$ $\Leftrightarrow α^{2} β - α = 0$ $\Leftrightarrow α (α β - 1) = 0$ $\Leftrightarrow a = 0 ή α β - 1 = 0$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι $α \neq 0$ , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι $α β = 1$ , το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί $α$ , $β$ είναι αντίστροφοι.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).