Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14329	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14329
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους
Τελευταία Ενημέρωση: 22-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 3

Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις $Α=\dfrac{−α}{β}$, $Β=α^{2}$.

α) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών $α$, $β$ οι αλγεβρικές παραστάσεις $Α$, $Β$ είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του $0$.
(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί $Α$, $Β$ είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί $α$, $β$ είναι αντίστροφοι.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός $Α=\dfrac{-α}{β}$ ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του $0$. Δηλαδή, αρκεί να ισχύει $β\ne 0$.

Ο αριθμός $Β=α^{2}$ ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του $α\in R$.

Για να μην είναι μηδέν οι $Α$, $Β$, αρκεί και $α\ne 0$.

β) Δύο αριθμοί $Α$, $Β$ λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει $Α+Β=0$.

Ισχύουν ισοδύναμα:

$$A+Β=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$ $$\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow a=0\ \ \text{ή}\ \ αβ-1=0$$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι $α\ne 0$ , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι $αβ=1$, το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί $α$, $β$ είναι αντίστροφοι.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).