Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14410	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14410
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι παραστάσεις $Α$ και $Β$ με $Α=α^{2}+α+\dfrac{1}{4}$ και $Β=(β-3)^{2}$.

α)
i. Να δείξετε ότι $Α+Β\ge 0$ για κάθε $α,β\in \mathbb{R}$.
(Μονάδες 9)

ii.Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $α,β$ έτσι, ώστε $Α+Β=0$.
(Μονάδες 8)

β) Υπάρχουν τιμές των $α,β\in \mathbb{R}$, ώστε $Α=-Β$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)
i. Έχουμε:

$$Α+Β=α^{2}+α+\dfrac{1}{4}+(β-3)^{2}=(α+\dfrac{1}{2})^{2}+(β-3)^{2}\ge 0$$

ii. Έχουμε:

$$Α+Β=0$$ $$\Leftrightarrow (α+\dfrac{1}{2})^{2}+(β-3)^{2}=0$$

που ισχύει αν και μόνο αν

$$α+\dfrac{1}{2}=0 \text{ και } β-3=0$$

οπότε $α=-\frac{1}{2}$ και $β=3$.

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$$Α=-Β$$ $$\Leftrightarrow Α+Β=0\overset{αii)}{\Leftrightarrow}α=-\dfrac{1}{2},β=3$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).