Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14410	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14410
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Φεβ-2025

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι παραστάσεις $Α$ και $Β$ με $Α = α^{2} + α + \frac{1}{4}$ και $Β = (β - 3)^{2}$ .

α)
i. Να δείξετε ότι $Α + Β \geq 0$ για κάθε $α, β \in R$ .
(Μονάδες 9)

ii.Να προσδιορίσετε τους αριθμούς $α, β$ έτσι, ώστε $Α + Β = 0$ .
(Μονάδες 8)

β) Υπάρχουν τιμές των $α, β \in R$ , ώστε $Α = - Β$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)
i. Έχουμε:

$Α + Β = α^{2} + α + \frac{1}{4} + (β - 3)^{2} = (α + \frac{1}{2})^{2} + (β - 3)^{2} \geq 0$

ii. Έχουμε:

$Α + Β = 0$ $\Leftrightarrow (α + \frac{1}{2})^{2} + (β - 3)^{2} = 0$

που ισχύει αν και μόνο αν

$α + \frac{1}{2} = 0 και β - 3 = 0$

οπότε

$α = - \frac{1}{2} και β = 3$

β) Έχουμε ισοδύναμα:

$Α = - Β$ $\Leftrightarrow Α + Β = 0$ $\overset{α i i)}{\Leftrightarrow} α = - \frac{1}{2}, β = 3$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).