Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14543	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14543
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 29-Απρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Κάθε περιττός ακέραιος αριθμός α γράφεται στη μορφή $a = 2 k + 1$ , $k$ ακέραιος.

α) Να γράψετε τους αριθμούς $3$ , $5$ , $7$ ως διαφορά τετραγώνων δύο ακεραίων.
(Μονάδες 6)

β)
i) Να αποδείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων δύο διαδοχικών ακεραίων ισούται πάντα με έναν περιττό ακέραιο.
(Μονάδες 6)

ii) Να γράψετε τον αριθμό $2021$ ως διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων αριθμών.
(Μονάδες 6)

γ) Στο σχήμα τα τετράπλευρα $Α Β Γ Δ$ και $Γ Η Ρ Κ$ είναι τετράγωνα με $(Γ Η) = (Γ Κ) = ν$ και $(Β Κ) = (Δ Η) = 1$ . Αν γνωρίζουμε ότι το γραμμοσκιασμένο εμβαδόν είναι ίσο με $45$ , να βρεθεί η τιμή του θετικού ακεραίου $ν$ .
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

α) Έχουμε διαδοχικά:

$3 = 4 - 1 = 2^{2} - 1^{2}$ $5 = 3^{2} - 2^{2}$

και σκεπτόμενοι ότι:

$7 = Μ^{2} - Ν^{2}$ $= (Μ - Ν) (Μ + Ν)$

ένα γινόμενο ακεραίων που δίνει $7$ είναι οι $1$ , $7$ .

Αν $Μ > Ν$ τότε $Μ - Ν = 1$ , $Μ + Ν = 7$ και λύνοντας το σύστημα έχουμε με αντικατάσταση:

$Μ = Ν + 1$

και

$Ν + 1 + Ν = 7$

άρα $2 Ν = 6$ , δηλαδή $Ν = 3$ και $Μ = 4$ .

Οπότε:

$7 = 4^{2} - 3^{2}$

β)
i) Έστω οι διαδοχικοί ακέραιοι $k$ , $k + 1$ , $k \in ℤ$ .

Η διαφορά των τετραγώνων τους είναι:

$(k + 1)^{2} - k^{2} = k^{2} + 2 k + 1 - k^{2}$ $= 2 k + 1, k \in ℤ$

Ο οποίος είναι περιττός αριθμός.

ii) Έχουμε ότι:

$2021 = 2 \cdot 1010 + 1$

Από την απόδειξη στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε:

$2021 = (1010 + 1)^{2} - (1010)^{2}$ $= 1011^{2} - 1010^{2}$

γ) Η γραμμοσκιασμένη περιοχή έχει εμβαδόν όσο η διαφορά των εμβαδών των τετραγώνων $Α Β Γ Δ$ και $Γ Η Ρ Κ$ .
Το τετράγωνο $Α Β Γ Δ$ έχει πλευρά $ν + 1$ , ενώ το $Γ Η Ρ Κ$ έχει πλευρά $ν$ .

Ισχύει:

$(ν + 1)^{2} - ν^{2} = 45$

οπότε:

$2 ν + 1 = 45$ $\Leftrightarrow 2 ν = 44$ $\Leftrightarrow ν = 22$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).