Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14566	Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14566
Ύλη:	3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα
Τελευταία Ενημέρωση: 15-Απρ-2024

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με $\hat{Δ} = \hat{Β} = 90^{0}$ . Αν τα σημεία $Ε$ , $Ζ$ , $Μ$ είναι τα μέσα των $Α Β$ , $Γ Δ$ , και $Α Γ$ αντιστοίχως και το $Μ Κ$ είναι κάθετο στην $Β Δ$ , να αποδείξετε ότι :

α) Το τρίγωνο $Β Μ Δ$ είναι ισοσκελές (μον. 5) και το $Κ$ είναι το μέσο του $Β Δ$ (μον. 2)
(Μονάδες 7)

β)

$Ε Κ = \frac{Α Δ}{2}$
(Μονάδες 6)
$Μ Ζ = Ε Κ$
(Μονάδες 6)

γ) Το τετράπλευρο $Κ Ε Μ Ζ$ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Το τρίγωνο $Α Β Γ$ είναι ορθογώνιο στο $Β$ και $Β Μ$ διάμεσος, άρα $Β Μ = \frac{Α Γ}{2}$ .

Το τρίγωνο $Α Δ Γ$ είναι ορθογώνιο στο $Δ$ και $Δ Μ$ διάμεσος, άρα $Δ Μ = \frac{Α Γ}{2}$ .

Άρα το τρίγωνο $Μ Β Δ$ είναι ισοσκελές με $Μ Β = Μ Δ$ και επειδή $Μ Κ$ ύψος, το $Μ Κ$ θα είναι και διάμεσος, δηλαδή $Κ$ μέσο του $Β Δ$ .

β)

Στο τρίγωνο $Α Β Δ$ τα $Ε$ και $Κ$ είναι τα μέσα των $Β Α$ και $Β Δ$ αντιστοίχως, άρα $Ε Κ / / = \frac{Α Δ}{2}$ .
Στο τρίγωνο $Α Γ Δ$ τα $Μ$ και $Ζ$ είναι τα μέσα των $Α Γ$ και $Γ Δ$ αντιστοίχως, άρα $Μ Ζ / / = \frac{Α Δ}{2} = Ε Κ$ από το $Δ 2$ .

γ) Από το ερώτημα β) είναι $Ε Κ = Μ Ζ$ και $Ε Κ / / Μ Ζ$ , γιατί είναι παράλληλες προς την $Α Δ$ . Άρα το τετράπλευρο $Κ Ε Μ Ζ$ είναι παραλληλόγραμμο, γιατί έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).