Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14645	Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14645
Ύλη:	5.3. Γεωμετρική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 21-Μαρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Ένας ζωγράφος ξεκινώντας από ένα τετράγωνο πλευράς $α$, σχεδιάζει διαδοχικά τετράγωνα παίρνοντας κάθε φορά ως πλευρά του νέου τετραγώνου, τη διαγώνιο του προηγούμενου τετραγώνου όπως φαίνεται στο σχήμα:

α) i. Αν η πλευρά ενός τετραγώνου έχει μήκος $x$, να αποδείξετε ότι η διαγώνιός του $δ$ έχει μήκος $δ=\sqrt{2}\cdot x$.
(Μονάδες 4)
ii. Να αποδείξετε ότι τα εμβαδά των διαδοχικών τετραγώνων είναι όροι γεωμετρικής προόδου $(α_ν)$ με λόγο $λ=2$ και γενικό όρο $α_ν=α^22^{ν-1}$.
(Μονάδες 7)

β) Αν το εμβαδόν του τέταρτου κατά σειρά τετραγώνου ισούται με $8$ τ.μ., να βρείτε:
i. την πλευρά $α$ του αρχικού τετραγώνου.
(Μονάδες 8)
ii. το πλήθος των αρχικών τετραγώνων με συνολικό εμβαδόν $255$ τ.μ.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

α) i. Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι για τη διαγώνιο $δ$ ενός τετραγώνου πλευράς $x$ ισχύει:

$$δ^2=x^2+x^2$$ $$\iff δ^2=2x^2$$ $$\iff \sqrt{δ^2}=\sqrt{2x^2}$$

και επειδή $δ, x > 0$ προκύπτει ότι $δ=\sqrt{2}\ x$.
ii. Από το ερώτημα (α.i) προκύπτει ότι αν ένα από τα τετράγωνα της ακολουθίας έχει πλευρά $x$ το επόμενό του έχει πλευρά $\sqrt{2}x$ και τα αντίστοιχα εμβαδά είναι $x^2$ και $(\sqrt{2}x)^2=2x^2$. Άρα, ο λόγος $λ$ των εμβαδών δύο διαδοχικών τετραγώνων δίνεται από τη σχέση

$$λ=\frac{2x^2}{x^2}=2$$

και είναι σταθερός. Οπότε, τα εμβαδά των τετραγώνων είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο $λ=2$ και πρώτο όρο $α_1=α^2$.
Ο γενικός όρος της προόδου δίνεται από τη σχέση

$$α_ν=α_1λ^{ν-1}=α^22^{ν-1}.$$

β)

Ισχύει ότι

\begin{align}&α_4=8\\ \iff&α^22^{4-1}=8\\ \iff&α^2\cdot 8=8\\ \iff&α^2=1\\ \overset{α>0}{\iff}&α=1.\end{align}

Το άθροισμα των $ν$ πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου δίνεται από τη σχέση:

\begin{align}S_ν&=α_1\frac{λ^ν-1}{λ-1}\\ &=1\cdot\frac{2^ν-1}{2-1}\\ &=2^ν-1.\end{align}

Για να είναι το συνολικό εμβαδών των αρχικών τετραγώνων ίσο με $255$ τ.μ. πρέπει να ισχύει:

\begin{align}&S_ν=255\\ \iff&2^ν-1=255\\ \iff&2^ν=256\\ \iff&2^ν=2^8\\ \iff&ν=8.\end{align}

Άρα, το πλήθος των τετραγώνων που έχουν συνολικό εμβαδόν $255$ τ.μ. είναι $8$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).