Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 14713 Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 3
Κωδικός Θέματος: 14713
Ύλη: 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023
ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η παράσταση Α=α3+2α2+9α+18α2+2α, α>0. Να αποδείξετε ότι:

α) α3+2α2+9α+18=(α2+9)(α+2).
(Μονάδες 7)

β) Για κάθε α>0 ισχύει

  1. Α=α2+9α.
    (Μονάδες 8)

  2. Α6. Πότε ισχύει η ισότητα Α=6 ;
    (Μονάδες 10)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

α3+2α2+9α+18=α2(α+2)+9(α+2) =(α+2)(α2+9)

που είναι το ζητούμενο.

β)

  1. Ισχύει: α2+2α=α(α+2), οπότε με α>0 έχουμε:

    Α=α3+2α2+9α+18α2+2α =(α2+9)(α+2)α(α+2) =α2+9α

  2. Επειδή α>0 για την απόδειξη της Α6, δηλαδή της α2+9α6, αρκεί να αποδείξουμε ότι α2+96α, ή αρκεί α26α+90, που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα (α3)20.

    Η ισότητα Α=6 ισχύει μόνο όταν (α3)2=0, δηλαδή μόνο όταν α=3.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).