Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14713	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14713
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 3

Δίνεται η παράσταση $Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$, $α>0$. Να αποδείξετε ότι:

α) $α^{3}+2α^{2}+9α+18=(α^{2}+9)(α+2)$.
(Μονάδες 7)

β) Για κάθε $α>0$ ισχύει

$Α=\dfrac{α^{2}+9}{α}$.
(Μονάδες 8)
$Α\ge 6$. Πότε ισχύει η ισότητα $Α=6$ ;
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$α^{3}+2α^{2}+9α+18=α^{2}(α+2)+9(α+2)$$ $$=(α+2)(α^{2}+9)$$

που είναι το ζητούμενο.

β)

Ισχύει: $α^{2}+2α=α(α+2)$, οπότε με $α>0$ έχουμε:

$$Α=\dfrac{α^{3}+2α^{2}+9α+18}{α^{2}+2α}$$ $$=\dfrac{(α^{2}+9)(α+2)}{α(α+2)}$$ $$=\dfrac{α^{2}+9}{α}$$
Επειδή $α>0$ για την απόδειξη της $Α\ge 6$, δηλαδή της $\dfrac{α^{2}+9}{α}\ge 6$, αρκεί να αποδείξουμε ότι $α^{2}+9\ge 6α$, ή αρκεί $α^{2}-6α+9\ge 0$, που ισχύει αφού προκύπτει από την προφανή ανισότητα $(α-3)^{2}\ge 0$.

Η ισότητα $Α=6$ ισχύει μόνο όταν $(α-3)^{2}=0$, δηλαδή μόνο όταν $α=3$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).