Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 1 |
| Κωδικός Θέματος: | 14731 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 1 |
| Κωδικός Θέματος: | 14731 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Αυγ-2023 | |
ΘΕΜΑ 1
Α. Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σωστό (Σ), αν η πρόταση που διατυπώνεται είναι σωστή και Λάθος (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\ge 0\) ισχύει ότι \(\sqrt{α+β}=\sqrt{α}+\sqrt{β}\).
β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(α\), \(β\) ισχύει ότι \(|α+β|\le |−α|+|β|\).
γ) Κάθε ευθεία η οποία έχει θετική κλίση, σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\) οξεία γωνία.
δ) Η εξίσωση \(x^{3}=−8\) είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
ε) Αν είναι \(αβ>1\), τότε θα ισχύει αναγκαστικά \(α>1\) και \(β>1\).
(Μονάδες 15)
Β. Δίνεται η εξίσωση \(ax^{2}+βx+γ=0\), \(α\ne 0\). Αν έχει δύο πραγματικές ρίζες \(x_{1}\), \(x_{2}\), τότε να αποδείξετε ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με \(x_{1}+x_{2}=\dfrac{−β}{α}\).
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Α.
α) ΛΑΘΟΣ. Για \(α=9\) και \(β= 16\) έχουμε \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\), ενώ \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25} =5\). Άρα δεν ισχύει η ισότητα για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς \(α\), \(β\).
β) ΣΩΣΤΟ. Ισχύει ότι \(|α|=|-α|\), για κάθε \(α\) πραγματικό αριθμό. Οπότε από την τριγωνική ανισότητα \(|α+β|\le |α|+|β|\), προκύπτει το ζητούμενο.
γ) ΣΩΣΤΟ. Η κλίση μίας ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα \(x’x\). Οι οξείες γωνίες έχουν θετική εφαπτομένη, ενώ οι αμβλείες έχουν αρνητική εφαπτομένη.
δ) ΛΑΘΟΣ. Για \(x=-2\) η εξίσωση επαληθεύεται.
ε) ΛΑΘΟΣ. Αν \(α=-1\), \(β=-2\), τότε \(αβ=2>1\).
Β. Δείτε απόδειξη στην παράγραφο 3.3 του σχολικού βιβλίου.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).