Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	1
Κωδικός Θέματος:	14731	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	1
Κωδικός Θέματος:	14731
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Αυγ-2023

ΘΕΜΑ 1

Α. Σε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις να επιλέξετε Σωστό (Σ), αν η πρόταση που διατυπώνεται είναι σωστή και Λάθος (Λ), αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α$ , $β \geq 0$ ισχύει ότι $\sqrt{α + β} = \sqrt{α} + \sqrt{β}$ .
β) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς $α$ , $β$ ισχύει ότι $| α + β | \leq | - α | + | β |$ .
γ) Κάθε ευθεία η οποία έχει θετική κλίση, σχηματίζει με τον άξονα $x^{'} x$ οξεία γωνία.
δ) Η εξίσωση $x^{3} = - 8$ είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
ε) Αν είναι $α β > 1$ , τότε θα ισχύει αναγκαστικά $α > 1$ και $β > 1$ .

(Μονάδες 15)

Β. Δίνεται η εξίσωση $a x^{2} + β x + γ = 0$ , $α \neq 0$ . Αν έχει δύο πραγματικές ρίζες $x_{1}$ , $x_{2}$ , τότε να αποδείξετε ότι το άθροισμά τους είναι ίσο με $x_{1} + x_{2} = \frac{- β}{α}$ .

(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Α.
α) ΛΑΘΟΣ. Για $α = 9$ και $β = 16$ έχουμε $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ , ενώ $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ . Άρα δεν ισχύει η ισότητα για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς αριθμούς $α$ , $β$ .
β) ΣΩΣΤΟ. Ισχύει ότι $| α | = | - α |$ , για κάθε $α$ πραγματικό αριθμό. Οπότε από την τριγωνική ανισότητα $| α + β | \leq | α | + | β |$ , προκύπτει το ζητούμενο.
γ) ΣΩΣΤΟ. Η κλίση μίας ευθείας είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον άξονα $x^{'} x$ . Οι οξείες γωνίες έχουν θετική εφαπτομένη, ενώ οι αμβλείες έχουν αρνητική εφαπτομένη.
δ) ΛΑΘΟΣ. Για $x = - 2$ η εξίσωση επαληθεύεται.
ε) ΛΑΘΟΣ. Αν $α = - 1$ , $β = - 2$ , τότε $α β = 2 > 1$ .

Β. Δείτε απόδειξη στην παράγραφο 3.3 του σχολικού βιβλίου.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).