Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14741	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14741
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η αλγεβρική παράσταση $Κ=\dfrac{α(α^{2}-2α+1)}{α^{3}-α^{2}}$, $α\ne 0,α\ne 1$.
α) Να δείξετε ότι $Κ=\dfrac{α-1}{α}$.
(Μονάδες 13)

β) Για κάθε $α\ne 0$ και $α\ne 1$,
i. Να δείξετε ότι $Κ\ne 0$.
(Μονάδες 6)

ii. Να βρείτε την τιμή του $α$ για την οποία ισχύει η ισότητα $Κ(Κ-2)=0$.
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$$Κ=\dfrac{α(α^{2}-2α+1)}{α^{3}-α^{2}}=\dfrac{α(α-1)^{2}}{α^{2}(α-1)}=\dfrac{α-1}{α}$$

β)
i. Έχουμε:

$$Κ=0 \Leftrightarrow \dfrac{α-1}{α}=0 \Leftrightarrow α-1=0\Leftrightarrow α=1$$

το οποίο απορρίπτεται αφού $α\ne 1$. Άρα $Κ\ne 0$.

ii. Ισχύει $Κ(Κ-2)=0 \Leftrightarrow Κ=0 \text{ ή } Κ-2=0$.

H περίπτωση $Κ=0$ λόγω του βi) δεν ισχύει, οπότε:

$$Κ-2=0 $$ $$\Leftrightarrow Κ=2 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{α-1}{α}=2 $$ $$\Leftrightarrow α-1=2α $$ $$\Leftrightarrow α=-1, \text{ δεκτή.}$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).