Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14741	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14741
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Φεβ-2025

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η αλγεβρική παράσταση $Κ = \frac{α (α^{2} - 2 α + 1)}{α^{3} - α^{2}}$ , $α \neq 0$ , $α \neq 1$ .
α) Να δείξετε ότι $Κ = \frac{α - 1}{α}$ .
(Μονάδες 13)

β) Για κάθε $α \neq 0$ και $α \neq 1$ ,
i. Να δείξετε ότι $Κ \neq 0$ .
(Μονάδες 6)

ii. Να βρείτε την τιμή του $α$ για την οποία ισχύει η ισότητα $Κ (Κ - 2) = 0$ .
(Μονάδες 6)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$Κ = \frac{α (α^{2} - 2 α + 1)}{α^{3} - α^{2}} = \frac{α (α - 1)^{2}}{α^{2} (α - 1)} = \frac{α - 1}{α}$

β)
i. Έχουμε:

$Κ = 0 \Leftrightarrow \frac{α - 1}{α} = 0 \Leftrightarrow α - 1 = 0 \Leftrightarrow α = 1$

το οποίο απορρίπτεται αφού $α \neq 1$ . Άρα $Κ \neq 0$ .

ii. Ισχύει $Κ (Κ - 2) = 0 \Leftrightarrow Κ = 0 ή Κ - 2 = 0$ .

H περίπτωση $Κ = 0$ λόγω του βi) δεν ισχύει, οπότε:

$Κ - 2 = 0$ $\Leftrightarrow Κ = 2$ $\Leftrightarrow \frac{α - 1}{α} = 2$ $\Leftrightarrow α - 1 = 2 α$ $\Leftrightarrow α = - 1, δεκτή.$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).