Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14744	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14744
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Οκτ-2023

ΘΕΜΑ 4

α) Να αποδείξετε ότι $x - x^{2} \leq \frac{1}{4}$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$ . Πότε ισχύει το ίσον;
(Μονάδες 8)

β) Στο παρακάτω σχήμα έχει σχεδιασθεί η γραφική παράσταση $(ε)$ της συνάρτησης $f (x) = 1 - x$ , $x \in R$ , η οποία τέμνει τους άξονες $x^{'} x$ και $y^{'} y$ στα σημεία $Ε$ και $Δ$ αντίστοιχα. Ένα μεταβλητό σημείο $Α$ , με τετμημένη $α$ , κινείται επί της ευθείας $(ε)$ και μεταξύ των σημείων $Δ$ και $Ε$ . Φέρνουμε από το $Α$ καθέτους στους άξονες και έστω $Β$ και $Γ$ τα σημεία τομής με $y^{'} y$ και $x^{'} x$ αντίστοιχα.

Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου $Α Β Ο Γ$ .
(Μονάδες 10)
Να αποδείξετε ότι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή του εμβαδού του μεταβλητού ορθογωνίου $Α Β Ο Γ$ είναι $\frac{1}{4}$ . Για ποια θέση του σημείου $Α$ επιτυγχάνεται αυτή η τιμή;
(Μονάδες 7)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)

$x - x^{2} \leq \frac{1}{4}$ $\Leftrightarrow x^{2} - x + \frac{1}{4} \geq 0$ $\Leftrightarrow x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow (x - \frac{1}{2})^{2} \geq 0, ισχύει$

Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν:

$x - \frac{1}{2} = 0$ $\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

β)

Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο $Δ$ έχει τετμημένη μηδέν και τεταγμένη $f (0) = 1,$ ενώ αν είναι $k$ η τετμημένη του σημείου $Ε$ , η τεταγμένη του θα είναι $f (k) = 0 = 1 - k$ , άρα $k = 1$ . Ώστε $Δ (0, 1)$ και $Ε (1, 0)$ .

Έστω τώρα ότι $α$ είναι η τετμημένη του σημείου $Α$ , με $0 \leq α \leq 1$ , οπότε το σημείο $Α$ έχει τεταγμένη $f (α) = 1 - α$ .

Έτσι έχουμε $Γ (α, 0)$ , $Α (α, 1 - α)$ , $Β (0, 1 - α)$ .

Επομένως το εμβαδόν του ορθογωνίου $Α Β Ο Γ$ είναι $Ε = α \cdot (1 - α) = α - α^{2}$ .
Σύμφωνα με το α) ερώτημα είναι $Ε \leq \frac{1}{4}$ , δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή του $α$ , το εμβαδόν του ορθογωνίου γίνεται το πολύ $\frac{1}{4}$ . Το ίσον ισχύει αν και μόνον αν $α = \frac{1}{2}$ , οπότε σε αυτή την περίπτωση είναι $Α (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , δηλαδή το $Α Β Ο Γ$ θα γίνει τετράγωνο.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).