Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14750	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14750
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Φεβ-2025

ΘΕΜΑ 2

Δίνονται οι ετερόσημοι αριθμοί $α$ , $β$ , με $α = 1 + 2 \sqrt{2}$ και $β = \sqrt{2} - 2$ .
Να δείξετε ότι:

α) $α^{2} + β^{2} = 15$ .
(Μονάδες 12)

β) $\sqrt{α^{2}} + 2 \sqrt{β^{2}} = 5$ .
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Έχουμε:

$\begin{aligned} α^{2} & = (1 + 2 \sqrt{2})^{2} \\ = 1^{2} + 2 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 1 + (2 \sqrt{2})^{2} \\ = 1 + 4 \sqrt{2} + 2^{2} (\sqrt{2})^{2} \\ = 1 + 4 \sqrt{2} + 8 \\ = 9 + 4 \sqrt{2} \end{aligned}$

και

$\begin{aligned} β^{2} & = (\sqrt{2} - 2)^{2} \\ = (\sqrt{2})^{2} - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 + 2^{2} \\ = 2 - 4 \sqrt{2} + 4 \\ = 6 - 4 \sqrt{2} \end{aligned}$

Οπότε $α^{2} + β^{2} = 9 + 4 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} = 15$ .

β) Είναι $α = 1 + 2 \sqrt{2} > 0$ και $β = \sqrt{2} - 2 < 0$ , οπότε:

$\begin{aligned} \sqrt{α^{2}} + 2 \sqrt{β^{2}} & = | α | + 2 | β | \\ = α + 2 (- β) \\ = 1 + 2 \sqrt{2} + 2 (2 - \sqrt{2}) \\ = 1 + 2 \sqrt{2} + 4 - 2 \sqrt{2} \\ = 5 \end{aligned}$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).