Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 14750 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 14750 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι ετερόσημοι αριθμοί \(α\), \(β\), με \(α=1+2\sqrt{2}\) και \(β=\sqrt{2}-2\).
Να δείξετε ότι:
α) \(α^{2}+β^{2}=15\).
(Μονάδες 12)
β) \(\sqrt{α^{2}}+2\sqrt{β^{2}}=5\).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έχουμε:
\begin{align} α^{2} & =(1+2\sqrt{2})^{2} \\ & =1^{2}+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+(2\sqrt{2})^{2} \\ & =1+4\sqrt{2}+2^{2}(\sqrt{2})^{2} \\ & =1+4\sqrt{2}+8 \\ & =9+4\sqrt{2} \end{align}
και
\begin{align} β^{2} & =(\sqrt{2}-2)^{2} \\ & =(\sqrt{2})^{2}-2\cdot \sqrt{2}\cdot 2+2^{2} \\ & =2-4\sqrt{2}+4 \\ & =6-4\sqrt{2} \end{align}
Οπότε \(α^{2}+β^{2}=9+4\sqrt{2}+6-4\sqrt{2}=15\).
β) Είναι \(α=1+2\sqrt{2}>0\) και \(β=\sqrt{2}-2<0\), οπότε:
\begin{align} \sqrt{α^{2}}+2\sqrt{β^{2}} & =|α|+2|β| \\ & =α+2(-β) \\ & =1+2\sqrt{2}+2(2-\sqrt{2}) \\ & =1+2\sqrt{2}+4-2\sqrt{2} \\ & =5 \end{align}
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).