Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14763 Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14763
Ύλη: 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 20-Σεπ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=3x2−8x+λx−4+2, για x≠4 και λ≥16.

α) Να βρείτε το λ≥16 ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο
της Μ(0,−1).
(Μονάδες 7)

β) Αν λ=16, τότε:

  1. Να αποδείξετε ότι: f(x)={−1 , x<45 , x>4.
    (Μονάδες 7)

  2. Να σχεδιάσετε σε σύστημα αξόνων τη γραφική παράσταση της f.
    (Μονάδες 5)

  3. Για x<4, να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f των οποίων η απόστασή τους από το σημείο Α(−1,−1) είναι 10 μονάδες μήκους.
    (Μονάδες 6)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού το σημείο M(0,−1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f θα ισχύει f(0)=−1 δηλαδή:

3λ−4+2=−1 ⇔3λ−4=−3 ⇔3λ=12 ⇔λ=4 ⇔λ=16

β) Για λ=16,

  1. Είναι:

f(x)=3x2−8x+16x−4+2 =3(x−4)2x−4+2 =3|x−4|x−4+2,  x≠4

Αν x<4 τότε x−4<0 και |x−4|=−(x−4). Άρα:

f(x)=−3(x−4)x−4+2 =−3+2=−1

Αν x>4 τότε x−4>0 και |x−4|=x−4. Άρα:

f(x)=3(x−4)x−4+2 =3+2=5

Άρα: f(x)={−1 , x<45 , x>4

  1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από δύο ημιευθείες παράλληλες προς τον άξονα x′x, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

  1. Το σημείο A(−1,−1) ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης στην πρώτη ημιευθεία.

Αφού x<4 το ζητούμενο σημείο ανήκει στον κλάδο f(x)=−1. Αν ονομάσουμε B το σημείο θα έχει συντεταγμένες (x,−1). Τότε:

(ΑΒ)=|x+1|=10 ⇔{x+1=10⇔x=9x+1=−10⇔x=−11

Το x=9>4 απορρίπτεται. Επομένως x=−11<4 και το ζητούμενο σημείο είναι B(−11,−1).

Εναλλακτικά σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, αφού το ζητούμενο σημείο Β βρίσκεται στην ημιευθεία y=−1 θα έχει τεταγμένη yB=−1 και θα βρίσκεται δέκα θέσεις δεξιά ή δέκα αριστερά του Α πάνω στην ημιευθεία y=−1.

Δηλαδή θα έχει τετμημένη: xB=−1+10=9 απορρίπτεται ή xB=−1−10=−11.

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι B(−11,−1).

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).