Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14786 Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τύπος Σχολείου: Γενικό Λύκειο
Τάξη: Α' Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Θέμα: 4
Κωδικός Θέματος: 14786
Ύλη: 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης
Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023
ΘΕΜΑ 4

Δίνονται τα σημεία Α(λ,1) και Β(2−λ2,μ), με λ,μ∈R.

α) Αν τα σημεία Α, Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x′x, να βρείτε τις τιμές των λ, μ.
(Μονάδες 7)

β) Αν επιπλέον το σημείο Α βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, να βρείτε την τιμή του λ.
(Μονάδες 6)

γ) Για λ=−2 και μ=−1

  1. Να βρείτε την απόσταση των σημείων Α, Β.
    (Μονάδες 7)

  2. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.
    (Μονάδες 5)


Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Για να είναι τα σημεία Α, Β είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x′x θα πρέπει να ισχύει:

{λ=2−λ2καιμ=−1 ⇔{λ2+λ−2=0καιμ=−1

Η διακρίνουσα του τριωνύμου λ2+λ−2 είναι:

Δ=1−4⋅(−2)=9

και οι ρίζες:

λ1,2=−1±32 ⇔{λ1=1καιλ2=−2

Άρα λ=1 ή λ=−2 και μ=−1.

β) Επειδή θέλουμε το σημείο Α να βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο του ορθοκανονικού συστήματος, θα πρέπει να έχει αρνητική τετμημένη. Άρα: λ=−2.

γ) Για λ=−2 και μ=−1 είναι Α(−2,1) και Β(−2,−1).

  1. Επειδή τα σημεία Α(−2,1) και Β(−2,−1) είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x′x το τμήμα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα x′x και η απόστασή τους είναι:

(ΑΒ)=|−1−1|=2

  1. Το μήκος της βάσης του τριγώνου OAB είναι (ΑΒ)=2 μονάδες μήκους και το αντίστοιχο ύψος (ΟΜ)=2 μονάδες μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ είναι:

(ΟΑΒ)=(ΑΒ)⋅(ΟΜ)2 =2⋅22=2 τετραγωνικές μονάδες

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).