Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 3 |
| Κωδικός Θέματος: | 14805 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 3 |
| Κωδικός Θέματος: | 14805 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 3
Έστω \(α\) ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει \(α=|3\sqrt{2}-4|+2|\sqrt{2}-2|\).
α) Να αποδείξετε ότι \(α=\sqrt{2}\). (Θεωρήστε ότι \(\sqrt{2}=1,41\))
(Μονάδες 10)
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι \(α^{3}=2α\).
(Μονάδες 5)
γ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης \(Α=α^{3}+(α-1)^{2}\).
(Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Με \(\sqrt{2}=1,41\) έχουμε \(3\sqrt{2}>4\), οπότε \(3\sqrt{2}-4>0\), άρα \(|3\sqrt{2}-4|=3\sqrt{2}-4\).
Επίσης \(\sqrt{2}-2<0\), οπότε \(|\sqrt{2}-2|=-\sqrt{2}+2\).
Έχουμε λοιπόν:
$$α=3\sqrt{2}-4+2(2-\sqrt{2})$$ $$=3\sqrt{2}-4+4-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$$
που είναι το ζητούμενο.
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) έχουμε:
$$α^{3}=α^{2}α=2α$$
γ) Αφού \(α^{3}=2α\), έχουμε:
$$Α=α^{3}+(α-1)^{2}$$ $$=2α+α^{2}-2α+1$$ $$=α^{2}+1=2+1=3$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).