Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14805	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	3
Κωδικός Θέματος:	14805
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Νοε-2023

ΘΕΜΑ 3

Έστω $α$ ένας πραγματικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει $α = | 3 \sqrt{2} - 4 | + 2 | \sqrt{2} - 2 |$ .

α) Να αποδείξετε ότι $α = \sqrt{2}$ . (Θεωρήστε ότι $\sqrt{2} = 1, 41$ )
(Μονάδες 10)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι $α^{3} = 2 α$ .
(Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης $Α = α^{3} + (α - 1)^{2}$ .
(Μονάδες 10)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Με $\sqrt{2} = 1, 41$ έχουμε $3 \sqrt{2} > 4$ , οπότε $3 \sqrt{2} - 4 > 0$ , άρα $| 3 \sqrt{2} - 4 | = 3 \sqrt{2} - 4$ .

Επίσης $\sqrt{2} - 2 < 0$ , οπότε $| \sqrt{2} - 2 | = - \sqrt{2} + 2$ .

Έχουμε λοιπόν:

$α = 3 \sqrt{2} - 4 + 2 (2 - \sqrt{2})$ $= 3 \sqrt{2} - 4 + 4 - 2 \sqrt{2} = \sqrt{2}$

που είναι το ζητούμενο.

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) έχουμε:

$α^{3} = α^{2} α = 2 α$

γ) Αφού $α^{3} = 2 α$ , έχουμε:

$Α = α^{3} + (α - 1)^{2}$ $= 2 α + α^{2} - 2 α + 1$ $= α^{2} + 1 = 2 + 1 = 3$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).