Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14849	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	14849
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

α) Να αποδείξετε ότι $2 < \sqrt{5}$ .
(Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι $(2 - \sqrt{5})^{2} = 9 - 4 \sqrt{5}$ .
(Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι $\sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} = \sqrt{5}$ $- 2$ .
(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

α) Καθώς είναι $2 = \sqrt{4}$ , αρκεί να αποδείξουμε ότι $\sqrt{4} < \sqrt{5}$ , το οποίο όμως είναι αληθές αφού $4 < 5$ .

β) Εφαρμόζοντας την ταυτότητα του τετραγώνου διαφοράς, παίρνουμε

$\begin{aligned} (2 - \sqrt{5})^{2} & = 2^{2} - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + (\sqrt{5})^{2} \\ = 5 - 4 \sqrt{5} + 4 \\ = 9 - 4 \sqrt{5} \end{aligned}$

γ) Με χρήση των ερωτημάτων α) και β) έχουμε:

$\begin{aligned} \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} & = \sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} \\ = | 2 - \sqrt{5} | \\ = \sqrt{5} - 2 \end{aligned}$

αφού $2 < \sqrt{5} \Leftrightarrow 2 - \sqrt{5} < 0.$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).