Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14880	Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14880
Ύλη:	3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.3. 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων
Τελευταία Ενημέρωση: 05-Φεβ-2022

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται τετράπλευρο $Α Β Γ Δ$ με $Α Β = Α Δ$ και $Γ Β = Γ Δ$ . Αν $Ε$ είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων των $Β Α$ και $Γ Δ$ και $Ζ$ το σημείο τομής των προεκτάσεων των $Δ Α$ και $Γ Β$ να αποδείξετε ότι:

α) Η $Γ Α$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Β Γ Δ}$ .
(Μονάδες 7)

β) $Γ Ζ = Γ Ε$
(Μονάδες 9)

γ) $Ε Ζ ∥ Β Δ$
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

α)

Τα τρίγωνα $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ έχουν:

$A B = A Δ$ , από υπόθεση
$Γ B = Γ Δ$ , από υπόθεση
$Γ Α$ κοινή πλευρά

Από το κριτήριο Π-Π-Π τα τρίγωνα $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ είναι ίσα, οπότε έχουν $\hat{B Γ Α} = \hat{A Γ Δ}$ (1), διότι βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές $Α Β$ και $Α Δ$ αντίστοιχα. Άρα η $Γ Α$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{Β Γ Δ}$ .

β)

$\hat{Z Α B} = \hat{E Α Δ}$ (2) ως κατακορυφήν γωνίες, $\hat{B Α Γ} = \hat{Δ Α Γ}$ (3), γιατί είναι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές $Γ Β$ και $Γ Δ$ αντίστοιχα, των ίσων τριγώνων $Α Β Γ$ και $Α Δ Γ$ του α) ερωτήματος. Από (2) και (3) έχουμε ότι: $\hat{Z Α Γ} = \hat{E Α Γ}$ (4) ως αθροίσματα ίσων γωνιών.
Τα τρίγωνα $Ζ Α Γ$ και $Ε Α Γ$ έχουν:

$\hat{B Γ Α} = \hat{A Γ Δ}$ , από τη σχέση (1)
$Α Γ$ κοινή πλευρά
$\hat{Z Α Γ} = \hat{E Α Γ}$ , από τη σχέση (4)

Άρα από το κριτήριο Γ-Π-Γ τα τρίγωνα $Ζ Α Γ$ και $Ε Α Γ$ είναι ίσα οπότε $Γ Z = Γ E$ γιατί είναι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες $\hat{Z Α Γ}$ , $\hat{E Α Γ}$ αντίστοιχα.

γ)

Έστω $Η$ και $Θ$ τα σημεία στα οποία το τμήμα $Α Γ$ τέμνει τα τμήματα $Ζ Ε$ και $Β Δ$ αντίστοιχα. Στο ισοσκελές τρίγωνο $Γ Β Δ$ ( $Γ Β = Γ Δ$ ), η $Γ Θ$ είναι διχοτόμος, άρα και ύψος. Τότε: $Β Δ ⊥ Γ Θ$ . Στο ισοσκελές τρίγωνο $Γ Ζ Ε$ ( $Γ Ζ = Γ Ε$ ), η $Γ Η$ είναι διχοτόμος, άρα και ύψος. Τότε: $Ε Ζ ⊥ Γ Η$ ή $Ε Ζ ⊥ Γ Θ$ .
Οπότε συμπεραίνουμε ότι $Ε Ζ ∥ Β Δ$ , ως κάθετα στο ίδιο τμήμα $Γ Θ$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).