Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14886	Ύλη:	4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14886
Ύλη:	4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου
Τελευταία Ενημέρωση: 04-Απρ-2023

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο $Α Β Γ$ ( $\hat{Α} = 90^{0}$ ), τα μέσα $Δ$ , $Ε$ , $Ζ$ των πλευρών του και το ύψος του $Α Κ$ . Αν $Θ$ είναι το σημείο τομής των $Α Ζ$ και $Δ Ε$ , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι:

Το τετράπλευρο $Α Δ Ζ Ε$ είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 8)
$Α Θ = Θ Ε = \frac{Β Γ}{4}$
(Μονάδες 7)

β) Αν επιπλέον είναι $\hat{Γ} = 30^{0}$ , τότε:

να βρείτε τη γωνία $\hat{Α Ζ Β}$ .
(Μονάδες 5)
να αποδείξετε ότι $Β Κ = \frac{Β Γ}{4}$ .
(Μονάδες 5)

Απάντηση Θέματος:

α)
i.

Tο τμήμα $Ε Ζ$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $Α Γ$ και $Β Γ$ στο τρίγωνο $Α Β Γ$ , άρα $Ε Ζ ∥ Α Β$ οπότε και $Ε Ζ ∥ Α Δ$ και $Ε Ζ = \frac{A B}{2} = Α Δ$ . Άρα το τετράπλευρο $Α Δ Ζ Ε$ έχει τις απέναντι πλευρές του $Α Δ$ και $Ε Ζ$ ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Επιπλέον η γωνία του $\hat{Α}$ είναι ορθή, άρα το τετράπλευρο $Α Δ Ζ Ε$ είναι ορθογώνιο.

ii.Το τμήμα $Δ Ε$ ενώνει τα μέσα των πλευρών $Α Β$ και $Α Γ$ στο τρίγωνο $Α Β Γ$ , οπότε $Δ Ε ∥ Β Γ$ και $Δ Ε = \frac{Β Γ}{2}$ .
Οι $Α Ζ$ , $Δ Ε$ είναι διαγώνιες του ορθογωνίου $Α Δ Ζ Ε$ , οπότε είναι ίσες και διχοτομούνται με $Θ$ το κέντρο του. Άρα $Α Θ = \frac{Α Ζ}{2} = \frac{Δ Ε}{2} = Θ Ε$ . Το ευθύγραμμο τμήμα $Θ Ε$ ενώνει τα μέσα των $Α Ζ$ και $Α Γ$ στο τρίγωνο $Α Ζ Γ$ , άρα $Θ Ε = \frac{Ζ Γ}{2} = \frac{\frac{Β Γ}{2}}{2} = \frac{Β Γ}{4}$ .

β)
i.Επειδή $\hat{Ζ Ε Γ} = 90^{0}$ , το $Ζ Ε$ είναι ύψος στο τρίγωνο $Α Ζ Γ$ και επειδή είναι και διάμεσος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα $\hat{Ζ Α Γ} = \hat{Γ} = 30^{0}$ .
Η γωνία $\hat{Α Ζ Β}$ είναι εξωτερική στο τρίγωνο $Α Ζ Γ$ , άρα: $\hat{Α Ζ Β} = \hat{Ζ Α Γ} + \hat{Γ} = 60^{0}$ .
ii.Στο ορθογώνιο τρίγωνο $Α Β Γ$ είναι $\hat{Γ} = 30^{0}$ , άρα $A B = \frac{Β Γ}{2}$ (1). Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου $Α Β Γ$ , έχουμε: $\hat{Β} + \hat{Γ} = 90^{0}$ ή $\hat{Β} = 60^{0}$ . Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου $Α Κ Β$ έχουμε: $\hat{B Α K} + \hat{Β} = 90^{0}$ ή $\hat{B Α K} = 30^{0}$ . Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $Α Β Κ$ είναι $B Κ = \frac{Α Β}{2}$ και λόγω της (1) $Β Κ = \frac{\frac{Β Γ}{2}}{2}$ ή $Β Κ = \frac{Β Γ}{4}$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).