Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14963	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	14963
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Φεβ-2023

ΘΕΜΑ 4

Δίνεται η εξίσωση $|x-4|-|x-2|=2$.

α) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της παραπάνω εξίσωσης.
(Μονάδες 8)

β) Να αιτιολογήσετε γεωμετρικά ότι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί που ανήκουν στο $(-∞,2]$ και μόνο αυτοί.
(Μονάδες 8)

γ) Αν για τον πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει ότι $|x-4|-|x-2|=2$, τότε να δείξετε ότι $x^{2}-6x+8≥0$.
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αναζητούμε πραγματικούς αριθμούς $x$ των οποίων η απόσταση από το $4$ είναι δύο μονάδες μεγαλύτερη από την απόστασή τους από το $2$. Δηλαδή:

$$d(x,4)-d(x,2)=2$$

β) Έστω ότι τα σημεία $Μ$, $Α$, $Β$ αναπαριστούν στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς $x$, $2$, $4$ αντίστοιχα, όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.

Παρατηρούμε ότι $d(2,4)=(ΑΒ)=2$.

Για κάθε αριθμό $x∈(-∞,2]$ είναι $d(x,4)-d(x,2)=(ΜΒ)-(ΜΑ)=(ΑΒ)=2$.

Για κάθε αριθμό $x∈(2,4]$ είναι:

$$d(x,4)-d(x,2) < d(x,4)+d(x,2)$$ $$=(ΜΒ)+(ΜΑ)=(ΑΒ)=2$$

και άρα:

$$d(x,4)-d(x,2)≠2$$

Για κάθε αριθμό $x∈(4,+∞)$ είναι $(ΜΒ)<(ΜΑ)$ οπότε $d(x,4)<d(x,2)$ δηλαδή $d(x,4)-d(x,2)<0$ και άρα $d(x,4)-d(x,2)≠2$.

γ) όπως δείξαμε στο β), αν για τον πραγματικό αριθμό ισχύει $x$ ότι $|x-4|-|x-2|=2$, τότε $x∈(-∞,2]$.

Το τριώνυμο $x^{2}-6x+8$ έχει ρίζες τους αριθμούς $2$ και $4$ και γίνεται μη αρνητικό για $x∈(-∞,2]∪[4,+∞)$.

Συνεπώς αν για τον πραγματικό αριθμό $x$ ισχύει ότι $|x-4|-|x-2|=2$, τότε $x∈(-∞,2]$ και $x^{2}-6x+8≥0$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).