Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15060	Ύλη:	3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15060
Ύλη:	3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 2

Στον τριγωνομετρικό κύκλο του σχήματος θεωρούμε το σημείο $M\Big(x,\dfrac{1}{2}\Big)$ και τη γωνία $θ$ με $\dfrac{π}{2}<θ<π$ η οποία έχει αρχική πλευρά την $ΟΑ$ και τελική την $ΟΜ$.

α) Να αιτιολογήσετε γιατί ισχύει $ημθ=\dfrac{1}{2}$.
(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας $θ$.
(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τη γωνία $θ$.
(Μονάδες 11)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Η τεταγμένη του σημείου $Μ$ είναι ίση με $\dfrac{1}{2}$, οπότε $ημθ=\dfrac{1}{2}$.

β) Η γωνία $θ$ περιέχεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, όπου ισχύει $συνθ<0$. Από τη βασική ταυτότητα $ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1$, έχουμε:

$$συν^{2}θ=1-ημ^{2}θ=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$

και επειδή ισχύει $συνθ<0$, παίρνουμε $συνθ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

γ) Ισχύει $ημθ=\dfrac{1}{2}=ημ\dfrac{π}{6}$ και $\dfrac{π}{2}<θ<π$, οπότε η γωνία $θ$ είναι η παραπληρωματική της γωνίας $\dfrac{π}{6}$, δηλαδή $θ=π-\dfrac{π}{6}=\dfrac{5π}{6}$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).