Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	15270	Ύλη:	2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	15270
Ύλη:	2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
Τελευταία Ενημέρωση: 08-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 4

Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f : [0, + \infty \to R) .$

α) Να βρείτε την μονοτονία της και τη μέγιστη τιμή της.
(Μονάδες 6)

β) Αν $f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ , και $0 < α < \frac{1}{4} < β$ , να βρείτε το πρόσημο του γινομένου $P = (2 f (α) - 1) (2 f (β) - 1)$
(Μονάδες 10)

γ) Έστω ότι η συνάρτηση του προβλήματος είναι η $f (x) = 1 - \sqrt{x}, x \geq 0$ . Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης με την ευθεία $y = 2 x$ .
(Μονάδες 9)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Από το σχήμα της εκφώνησης προκύπτει ότι η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της. Επίσης, η μέγιστη τιμή της είναι ίση με $1$ και επιτυγχάνεται όταν $x = 0$ .

β) Από την ανισότητα $α < \frac{1}{4}$ και τη μονοτονία της $f$ συμπεραίνουμε ότι $f (α) > f (\frac{1}{4}) \Rightarrow f (α) > \frac{1}{2}$ , οπότε $2 f (α) - 1 > 0$ .
Επίσης, $β > \frac{1}{4}$ , οπότε $f (β) < f (\frac{1}{4}) \Rightarrow f (β) < \frac{1}{2}$ , απ’ όπου προκύπτει ότι $2 f (β) - 1 < 0$ .
Άρα, $Ρ = (2 f (α) - 1) (2 f (β) - 1) < 0$ .

γ) Οι τετμημένες των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης $C_{f}$ της $f$ με την ευθεία, δίνονται από τη λύση της εξίσωσης $f (x) = 2 x$ . Με $x \geq 0$ έχουμε:

$f (x) = 2 x \Leftrightarrow 1 - \sqrt{x} = 2 x \Leftrightarrow 2 x + \sqrt{x} - 1 = 0$

Αν θέσουμε $\sqrt{x} = u$ , τότε η εξίσωση γράφεται $2 u^{2} + u - 1 = 0$ και έχει λύσεις τους αριθμούς $- 1$ και $\frac{1}{2}$ . Έτσι έχουμε:

$∙ u = - 1 : \sqrt{x} = - 1$ που είναι αδύνατη.
$∙ u = \frac{1}{2} : \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Άρα το μοναδικό κοινό σημείο της $C_{f}$ με την ευθεία είναι το $A (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ .

Εναλλακτική λύση του ερωτήματος γ)
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός $\frac{1}{4}$ είναι λύση της εξίσωσης $f (x) = 2 x$ . Επιπλέον:

$∙ Aν x > \frac{1}{4}, τότε 2 x > \frac{1}{2} και f (x) < \frac{1}{2}, οπότε f (x) \neq 2 x$ .

$∙ Aν 0 \leq x < \frac{1}{4}, τότε 2 x < \frac{1}{2} και f (x) > \frac{1}{2}, οπότε f (x) \neq 2 x$ .

Επομένως η εξίσωση $f (x) = 2 x$ έχει μοναδική λύση την $x = \frac{1}{4}$ και το μοναδικό κοινό σημείο της $C_{f}$ με την ευθεία είναι το $A (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).