Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 15617 | Ύλη: | 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 15617 |
| Ύλη: | 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\ln\dfrac{1}{|x|}\), \(x\in \mathbb{R}-\{0\}\).
α) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=-\ln|x|\), για κάθε \(x\in \mathbb{R}-\{0\}\).
(Μονάδες 10)
β) i) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(h(x)=\ln|x|,\) \(x\in \mathbb{R}-\{0\}\).
Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\).
(Μονάδες 7)
ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των \(f\) και \(g(x)=\ln{x} ,x>0\) έχουν μοναδικό κοινό σημείο για \(x=1\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Ισχύει ότι
\(f(x)=\ln\dfrac{1}{|x|}=\ln1-\ln|x|=0-\ln|x|=-\ln|x|\)
β) i) Η γραφική παράσταση της \(f(x)=-\ln|x|\) είναι η συμμετρική της γραφικής παράστασης της \(h(x)=\ln|x|\) ως προς τον άξονα \(x’x\) και φαίνεται στο επόμενο σχήμα.
ii)
Οι γραφικές παραστάσεις των \(f,g\) έχουν μοναδικό κοινό σημείο, διότι, πρέπει να ισχύει:
\begin{align} f(x) & =g(x) \\ \Leftrightarrow -\ln|x| & =\ln{x} ,x>0 \\ \Leftrightarrow -\ln{x} & =\ln{x} \\ \Leftrightarrow 0 & =2\ln{x} \\ \Leftrightarrow \ln{x} & =0 \\ \Leftrightarrow x & =1 \end{align}
Αυτό φαίνεται και στο επόμενο σχήμα:
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).