Τράπεζα Θεμάτων

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται η συνάρτηση $f(x)=\ln {\displaystyle \frac{1}{|x|}}$, $x\in \mathbb{R}-\{0\}$.

α) Να αποδείξετε ότι $f(x)=-\ln |x|$, για κάθε $x\in \mathbb{R}-\{0\}$.
(Μονάδες 10)

β) i) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης $h(x)=\ln |x|,$ $x\in \mathbb{R}-\{0\}$.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$.
(Μονάδες 7)

ii) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g(x)=\ln x,x>0$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο για $x=1$.

(Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι
$f(x)=\ln {\displaystyle \frac{1}{|x|}}=\ln 1-\ln |x|=0-\ln |x|=-\ln |x|$

β) i) Η γραφική παράσταση της $f(x)=-\ln |x|$ είναι η συμμετρική της γραφικής παράστασης της $h(x)=\ln |x|$ ως προς τον άξονα $x^{\prime }x$ και φαίνεται στο επόμενο σχήμα.

ii)
Οι γραφικές παραστάσεις των $f,g$ έχουν μοναδικό κοινό σημείο, διότι, πρέπει να ισχύει:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =g(x)\\ \iff -\ln |x|& =\ln x,x>0\\ \iff -\ln x& =\ln x\\ \iff 0& =2\ln x\\ \iff \ln x& =0\\ \iff x& =1\end{array}$$

Αυτό φαίνεται και στο επόμενο σχήμα:

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).