Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15643	Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15643
Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων
Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6$ .

α)
i. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο $P (x)$ έχει παράγοντα το $x - 3$ .
(Μονάδες 7)

ii. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης $P (x) : (x - 3)$
(Μονάδες 7)

β) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο $P (x)$ έχει παράγοντα το $(x - 3) (2 x - 1)$ .
(Μονάδες 11)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α)
i. Ένα πολυώνυμο $P (x)$ έχει παράγοντα το $x - ρ$ αν και μόνο αν $P (ρ) = 0$ . Έχουμε $P (3) = 2 \cdot 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} - 11 \cdot 3 + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0$ , άρα το $x - 3$ είναι παράγοντας του $P (x)$ .

ii. Εκτελούμε την διαίρεση

β) Από το α)ii ερώτημα έχουμε ότι: $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = (x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2)$ .
Το $2 x - 1$ θα διαιρεί το $P (x)$ αν και μόνο αν διαιρεί τον παράγοντα $2 x^{2} + 3 x - 2$ .

Έχουμε $2 x^{2} + 3 x - 2 = (2 x - 1) (x + 2)$ , αφού $Δ = 25$ και $x_{1} = - 2, x_{2} = \frac{1}{2}$ .
Οπότε $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = (x - 3) (2 x - 1) (x + 2)$ , δηλαδή το $P (x)$ έχει παράγοντα το $(x - 3) (2 x - 1)$ .

Εναλλακτική λύση
Είναι $(x - 3) (2 x - 1) = 2 x^{2} - 7 x + 3$ . Εκτελούμε τη διαίρεση

Έχουμε $2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = (2 x^{2} - 7 x + 3) (x + 2)$ , δηλαδή το $P (x)$ διαιρείται με το $2 x^{2} - 7 x + 3$ , άρα διαιρείται με το $(x - 3) \cdot (2 x - 1)$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).