Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 15643 | Ύλη: | 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 15643 |
| Ύλη: | 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6\).
α)
i. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-3\).
(Μονάδες 7)
ii. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης \(P(x):(x-3)\)
(Μονάδες 7)
β) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-3)(2x-1)\).
(Μονάδες 11)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i. Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-ρ\) αν και μόνο αν \(P(ρ)=0\). Έχουμε \(P(3)=2\cdot 3^{3}-3\cdot 3^{2}-11\cdot 3+6=54-27-33+6=0\), άρα το \(x-3\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).
ii. Εκτελούμε την διαίρεση
β) Από το α)ii ερώτημα έχουμε ότι: \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x^{2}+3x-2)\).
Το \(2x-1\) θα διαιρεί το \(P(x)\) αν και μόνο αν διαιρεί τον παράγοντα \(2x^{2}+3x-2\).
Έχουμε \(2x^{2}+3x-2=(2x-1)(x+2)\), αφού \(Δ=25\) και \(x_{1}=-2,x_{2}=\dfrac{1}{2}\).
Οπότε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(x-3)(2x-1)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \((x-3)(2x-1)\).
Εναλλακτική λύση
Είναι \((x-3)(2x-1)=2x^{2}-7x+3\). Εκτελούμε τη διαίρεση
Έχουμε \(2x^{3}-3x^{2}-11x+6=(2x^{2}-7x+3)(x+2)\), δηλαδή το \(P(x)\) διαιρείται με το \(2x^{2}-7x+3\), άρα διαιρείται με το \((x-3)\cdot (2x-1)\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).