Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15989	Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Β' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	15989
Ύλη:	4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις
Τελευταία Ενημέρωση: 08-Οκτ-2024

ΘΕΜΑ 2
Δίνεται το πολυώνυμο $P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4$ .

α) Δίνεται ότι το πολυώνυμο $P (x)$ έχει μοναδική ακέραια ρίζα. Να προσδιορίσετε τη μοναδική ακέραια ρίζα του πολυωνύμου $P (x)$ .
(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε όλες τις ρίζες του $P (x)$ και να το γράψετε ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων.
(Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Εφόσον το πολυώνυμο $P (x)$ έχει ακέραιους συντελεστές, οι πιθανές ακέραιες ρίζες του θα είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου $4$ , δηλαδή οι αριθμοί $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ .

Αντικαθιστώντας στο πολυώνυμο $P (x)$ όπου $x$ τον αριθμό $2$ παρατηρούμε ότι:
$P (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 4 = 8 - 8 - 4 + 4 = 0,$ άρα η μοναδική ακέραια ρίζα του πολυωνύμου είναι το $2$ .

β) Εφόσον το $2$ είναι ρίζα του $P (x)$ ισχύει ότι το $x - 2$ είναι παράγοντας του $P (x)$ οπότε εκτελώντας τη διαίρεση έχουμε:

Συνεπώς, η εξίσωση γράφεται: $P (x) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) = 0$ .
Οπότε οι ρίζες του πολυωνύμου είναι $x = 2,$ $x = \sqrt{2},$ $x = - \sqrt{2}$ .
Το πολυώνυμο γράφεται: $P (x) = (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})$ .

Δεύτερη λύση:
Η εξίσωση $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0$ γράφεται ισοδύναμα:

$\begin{aligned} x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 4 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} (x - 2) - 2 (x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2) (x^{2} - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow x - 2 = 0 ή x^{2} - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow x = 2 ή x^{2} = 2 \\ \Leftrightarrow x = 2 ή x = \pm \sqrt{2} . \end{aligned}$

Οπότε οι ρίζες του πολυωνύμου είναι $x = 2,$ $x = \sqrt{2},$ $x = - \sqrt{2}$ .

Συνεπώς, η εξίσωση έχει μοναδική ακέραια ρίζα την $x = 2$ .

Το πολυώνυμο γράφεται: $P (x) = (x - 2) (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2})$ .

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).