Τράπεζα Θεμάτων

α) Για κάθε $x_1,x_2\in \mathbb{R}$ με $x_1<x_2$ έχουμε:

$$\begin{array}{rl}{e}^{x_1}& <e^{x_2}\\ \Leftarrow e^{x_1}-1& <e^{x_2}-1\\ \Leftarrow f(x_1)& <f(x_2)\end{array}$$

Άρα, η $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$, οπότε είναι $1-1$, άρα αντιστρέφεται.

β) Αν $f(x)=y$, τότε έχουμε:

$$\begin{array}{rl}& f(x)=y\\ \iff & e^x-1=y\\ \iff & e^x=y+1\\ \iff & \{\begin{array}{l}x=\ln (y+1)\\ y+1>0\end{array}\\ \iff & \{\begin{array}{l}x=\ln (y+1)\\ y>-1\end{array}\end{array}$$

Άρα $f^{-1}(x)=\ln (x+1),x>-1$.

γ) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f,f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την $y=x$, οπότε η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ προκύπτει αφού φέρουμε την διχοτόμο $y=x$ και θεωρήσουμε τη συμμετρική της $C_f$, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Σχόλιο
Στο σχήμα φαίνεται και μια εναλλακτική προσέγγιση του ερωτήματος, αφού η γραφική παράσταση της $f^{-1}$, με βάση τον τύπο της, μπορεί να προκύψει από μετατόπιση της $y=\ln x$ κατά μια μονάδα προς τα αριστερά.
Σε κάθε περίπτωση, αποδεικνύεται ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f,f^{-1}$ έχουν κοινή εφαπτομένη την διχοτόμο $y=x$.