Τράπεζα Θεμάτων

α) Έστω $x_1,x_2\in \Delta =(-\infty ,1]$ με $x_1<x_2\le 1$, άρα $x_1-1<x_2-1\le 0$, οπότε:

$$\begin{array}{rl}& (x_1-1{)}^2>(x_2-1{)}^2\\ \Rightarrow & (x_1-1{)}^2-1>(x_2-1{)}^2-1\\ \Rightarrow & f(x_1)>f(x_2)\end{array}$$

για κάθε $x_1,x_2\in \Delta =(-\infty ,1]$ με $x_1<x_2$.
Χρησιμοποιήσαμε τις ιδιότητες:
$\alpha <\beta <0\Rightarrow -\alpha >-\beta >0\Rightarrow (-\alpha {)}^2>(-\beta {)}^2\Rightarrow {\alpha }^2>{\beta }^2$.

Εναλλακτικά, καθώς η $f$ είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική, έχουμε
$f^{\prime }(x)=2(x-1)(x-1{)}^{\prime }-(1{)}^{\prime }=2(x-1)\cdot 1-0=2(x-1)<0$ για κάθε $x\in (-\infty ,1)$. Αλλά η $f$ είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα $(-\infty ,1]$, άρα η $f$ θα είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,1]$

β) Επειδή η $f$ είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,1]$, για το σύνολο τιμών θα έχουμε: $f((-\infty ,1])=[f(1),\underset{x\to -\infty }{lim}f(x))=[-1,+\infty )$, καθώς

$$\underset{x\to -\infty }{limf(x)}=\underset{x\to -\infty }{lim(x^2-2x)}=\underset{x\to -\infty }{lim{x}^2}=+\infty .$$

γ) Αφού η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη, άρα θα είναι και $«1-1»$, επομένως θα υπάρχει η συνάρτηση $f^{-1}.$
Γνωρίζουμε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $f^{-1}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x.$ Επίσης, το σύνολο τιμών της $f$ είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f^{-1}.$

Επομένως, με προσεκτική χάραξη, παίρνουμε το παρακάτω σχήμα.